Înălțime (geometrie)

Înălțimea într-un triunghi reprezintă segmentul determinat de un vârf al triunghiului și piciorul perpendicularei din acel vârf pe dreapta ce conține latura opusă vârfului.

Înălţimile unui triunghi sunt concurente (în ortocentru)

Proprietăți ale înălțimilor poligonale modificare

Concurența înălțimilor unui triunghi modificare

Cele trei înălțimi ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersecție, H, se numește ortocentru. Triunghiul având ca vârfuri picioarele înălțimilor se numește triunghi ortic.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC și A”, B”, C” - picioarele perpendicularelor vârfurilor pe laturile opuse.

Prin vârfurile triunghiului ABC ducem paralele la laturile opuse, care se intersectează în punctele A', B', C' ca în figura alăturată. Din construcție, ABCB' și BCAC' sunt paralelograme, deci

|BC|=|AC'|=|AB'|

. Pentru că

BC||B'C'

și

AA''\perp BC

, rezultă că

AA''\perp B'C'

. Deci AA' este mediatoarea segmentului B'C'. Analog, BB” și CC” sunt mediatoarele segmentelor A'C' respectiv A'B'. Prin urmare, conform concurenței mediatoarelor unui triunghi, rezultă că și înălțimile triunghiului ABC sunt concurente. ^[1]

Punct interior unui triunghi modificare

Dacă $p 1, p 2$ și $p 3$ sunt distanțele de la orice punct interior $P$ la laturi și $h 1, h 2$ , and $h 3$ înălțimile pe respectivele laturi, atunci ^[2] este valabilă egalitatea:

{\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.

Poligoane modificare

În poligoane înălțimea poate ajuta la determinarea ariei acestui poligon:

la triunghi: $S={\frac {h*a}{2}}$ , a este latura pe care cade înălțimea;
la triunghiul dreptunghic: catetele sunt înălțimi, deci $S={\frac {c1*c2}{2}}$ sau $S={\frac {h*ip}{2}}$ ;

într-un triunghi dreptunghic, este egală cu produsul proiecțiilor sale pe ipotenuza sau cu produsul catetelor împărțit la ipotenuză;

la trapez: $S={\frac {h*(b+B)}{2}}$ , b și B fiind cele două baze ale trapezului;
la paralelogram: $S=h*l$ , l este latura pe care cade înălțimea.

Înălțimea unei piramide este segmentul coborât din vârf perpendicular pe planul bazei

Vezi și modificare

Note modificare

^ Augustin Coța, Mariana Răduțiu, Marta Rado, Florica Vornicescu, Geometrie și trigonometrie, 1992, Ministerul Învățământului și Științei, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București, ISBN 973-30-1859-7
^ Johnson 2007, p. 74, Section 103c.

[1] Augustin Coța, Mariana Răduțiu, Marta Rado, Florica Vornicescu, Geometrie și trigonometrie, 1992, Ministerul Învățământului și Științei, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București, ISBN 973-30-1859-7

[2] Johnson 2007, p. 74, Section 103c.

[1]

[2]