Algebră booleană

Algebra booleană, numită și logica booleană, este un subdomeniu al matematicii în care legile gândirii - obiectul de studiu al logicii clasice - sunt studiate cu ajutorul metodelor simbolice. Denumirea aceasta a fost dată în onoarea matematicianului englez George Boole, care în lucrarea The Laws of Thought („Legile gândirii”), publicată în 1853, a pus bazele acestei algebre.

Algebra booleană este formată din:

• elementele {0,1};
• 2 operații binare numite SAU și ȘI, notate simbolic cu + sau Ú și × sau U;
• 1 operație unară numită NU (negație), notată simbolic 0 sau O.

Operații

Operațiile se definesc astfel:

ȘI	SAU	NU
0 × 0 = 0	0 + 0 = 0	0 = 1
0 × 1 = 0	0 + 1 = 1	1 = 0
1 × 0 = 0	1 + 0 = 1
1 × 1 = 1	1 + 1 = 1

Axiome

Axiomele algebrei booleene sunt următoarele:

Fie o mulțime M compusă din elementele x₁, x₂,...x_n, împreună cu operațiile × și +. Această mulțime formează o structură algebrică dacă:

Mulțimea M conține cel puțin 2 elemente distincte x₁ 1 x₂ (x1,x2I M);

Pentru x₁ I M, x₂ I M avem:

x₁ + x₂ I M și x1 × x2 I M

Proprietăți

Operațiile × și + au următoarele proprietăți:

sunt comutative

x1 × x2 = x2 × x1

x1 + x2 = x2 + x1

sunt asociative

x1 × (x2 × x3) = (x1 × x2) × x3

x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3

sunt distributive una față de cealaltă

x1 × (x2 + x3) = x1 × x2 + x1 × x3

x1 + (x2 × x3) = (x1 + x2) × (x1 + x3)

Ambele operații admit câte un element neutru cu proprietatea:

x1 + 0 = 0 + x1 = x1

x1 × 1 = 1 × x1 = x1

unde 0 este elementul nul al mulțimii, iar 1 este elementul unitate al mulțimii. Dacă mulțimea M nu conține decât două elemente, acestea trebuie să fie obligatoriu elementul nul 0 și elementul unitate 1; atunci pentru " x I M există un element unic notat cu x, cu proprietățile: x × x = 0 principiul contradicției x + x = 1 principiul terțului exclus x este inversul elementului x.

Notații

În definirea axiomatică a algebrei booleene s-au folosit diferite notații. In tabelul următor se dau denumirile și notațiile specifice folosite pentru diverse domenii:

Matematică, Logică, Tehnică

Prima lege de compoziție

x1 + x2

Disjunctie

x1 Ú x2

SAU

x1 + x2

A doua lege de compoziție

x1 × x2

Conjuncție

x1 U x2

SI

x1 × x2

Elementul invers

x

Negare

Ox

NU

x

Vezi și

• Boolean (tip de date)
• Intersecție (matematică)
• Reuniune (matematică)
• Partiție (matematică)
• Produs cartezian
• Sistem binar
• Logică binară

Bibliografie

• Crăciun, D., Logică și teoria argumentării, Editura Tehnică, București, 2000.