În analiza matematică și în teoria numerelor , Constanta Euler–Mascheroni (de asemenea numită și Constanta lui Euler ) este o constantă matematică , de obicei notată cu consoana mică de tipar grecească γ {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}} (gamma ).
Poartă numele matematicienilor Leonhard Euler și Lorenzo Mascheroni .
Numere iraționale și probabil iraționale : γ – φ – e – π
Binar
0.100100111100010001...
Decimal
0.5772156649015328606065...
Hexadecimal
0.93C467E37DB0C7A4D1BE...
fracție continuă
[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, … ]
(Această fracție continuată nu este periodică .)
Este definită ca limita diferenței dintre seriile armonice și logaritmul natural :
γ = lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − ln ( n ) ) = ∫ 1 ∞ ( 1 ⌊ x ⌋ − 1 x ) d x . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx.} Valoarea ei numerică, estimată până la cea de-a 50-a zecimală, este:
0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … Șirul A001620 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS). γ {\displaystyle \gamma } nu trebuie confundată cu baza logaritmului natural , e , care este câteodată numită numărul lui Euler .
Constanta a apărut pentru prima dată într-un articol din 1735 de matematicianul elvețian Leonhard Euler , întitulat De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Euler a folosit notațiile C și O pentru constanta lui. În 1790, matematicianul italian Lorenzo Mascheroni a folosit notațiile A sau a pentru constanta lui Euler. Notația γ nu apare nicăieri în notele lui Euler sau ale lui Mascheroni, și a fost aleasă mai târziu datorită conexiunii constantei cu funcția gamma . De exemplu, matematicianul german Carl Anton Bretschneider a folosit notația γ în 1835.
Numărul γ nu a fost descris ca un număr algebric sau transcendent . De fapt, nici măcar nu se știe cu exactitate dacă este irațional . Analiza fracției continuate demonstrează că dacă γ este rațional , numitorul lui trebuie să fie mai mare decât 10242080 . Ubicuitatea numărului γ este arătat de numărul mare de ecuații (prezentate mai jos) face iraționalitatea constantei γ un subiect major în matematică.
Pentru mai multe ecuații de tipul prezentat mai jos, a se vedea Gourdon and Sebah (2002).
Relația funcției Gamma
modificare
γ este asemănător cu funcția Digamma (Ψ), și de aici, derivatele funcțiilor Gamma (Γ), însă ambele funcții sunt evaluate la 1. Astfel:
− γ = Γ ′ ( 1 ) = Ψ ( 1 ) . {\displaystyle \ -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).} Aceasta este egală cu limitele:
− γ = lim z → 0 { Γ ( z ) − 1 z } = lim z → 0 { Ψ ( z ) + 1 z } . {\displaystyle -\gamma =\lim _{z\to 0}\left\{\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right\}=\lim _{z\to 0}\left\{\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right\}.} Alte rezultate ale limitelor sunt (Krämer, 2005):
lim z → 0 1 z { 1 Γ ( 1 + z ) − 1 Γ ( 1 − z ) } = 2 γ {\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}=2\gamma }
lim z → 0 1 z { 1 Ψ ( 1 − z ) − 1 Ψ ( 1 + z ) } = π 2 3 γ 2 . {\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.} O limită asemănătoare cu funcția beta (exprimată în termenii funcțiilor Gamma ) este
γ = lim n → ∞ { Γ ( 1 n ) Γ ( n + 1 ) n 1 + 1 / n Γ ( 2 + n + 1 n ) − n 2 n + 1 } . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}.} γ = lim m → ∞ ∑ k = 1 m ( m k ) ( − 1 ) k k ln ( Γ ( k + 1 ) ) . {\displaystyle \gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(\Gamma (k+1)).} Relația cu funcția Zeta
modificare
γ poate fi de asemenea exprimată ca o sumă infinită ale cărei termeni includ funcția Zeta Riemann evaluată la un întreg pozitiv:
γ = ∑ m = 2 ∞ ( − 1 ) m ζ ( m ) m = ln ( 4 π ) + ∑ m = 2 ∞ ( − 1 ) m ζ ( m ) 2 m − 1 m . {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}} Alte serii asemănătoare cu funcția zeta includ:
γ = 3 2 − ln 2 − ∑ m = 2 ∞ ( − 1 ) m m − 1 m [ ζ ( m ) − 1 ] = lim n → ∞ [ 2 n − 1 2 n − ln n + ∑ k = 2 n ( 1 k − ζ ( 1 − k ) n k ) ] = lim n → ∞ [ 2 n e 2 n ∑ m = 0 ∞ 2 m n ( m + 1 ) ! ∑ t = 0 m 1 t + 1 − n ln 2 + O ( 1 2 n e 2 n ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right].\end{aligned}}} Termenul eronat din ultima ecuație este o funcție care descrește rapid, a lui n . Ca rezultat, formula este gata pentru calculul eficient al constantei cu o mare precizie.
Alte limite interesante egale cu constanta Euler–Mascheroni sunt limitele antisimetrice (Sondow, 1998):
γ = lim s → 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 1 n s − 1 s n ) = lim s → 1 ( ζ ( s ) − 1 s − 1 ) {\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)} și
γ = lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n ( ⌈ n k ⌉ − n k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right).\end{aligned}}} Foarte asemănătoare cu acestea sunt seriile zeta raționale . Prin excluderea primilor termeni ai seriilor de mai jos, se obține o aproximare pentru limita clasică a seriilor:
γ = ∑ k = 1 n 1 k − ln n − ∑ m = 2 ∞ ζ ( m , n + 1 ) m {\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}} unde ζ(s ,k ) este funcția zeta Hurwitz . Suma acestei ecuații include numerele armonice , H n . Extinzând unii termeni în funcția zeta Hurwitz rezultă:
H n = ln n + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − ε {\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon } , unde 0 < ε < 1 252 n 6 . {\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{252n^{6}}}.}
γ este egal cu valoarea unui număr definit integral:
γ = − ∫ 0 ∞ e − x ln x d x = − ∫ 0 1 ln ln ( 1 x ) d x = ∫ 0 ∞ ( 1 e x − 1 − 1 x e x ) d x = ∫ 0 1 ( 1 ln x + 1 1 − x ) d x = ∫ 0 ∞ ( 1 1 + x k − e − x ) d x x , k > 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln x}\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0.\end{aligned}}} Integralele definite în care γ este inclus:
∫ 0 ∞ e − x 2 ln x d x = − 1 4 ( γ + 2 ln 2 ) π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}} ∫ 0 ∞ e − x ln 2 x d x = γ 2 + π 2 6 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}.} Numai o ecuație folosește γ cu un caz special al Formulei lui Hadjicostas ca o integrală dublă cu seriile echivalente :
γ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x − 1 ( 1 − x y ) ln ( x y ) d x d y = ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − ln n + 1 n ) . {\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right).} O comparație interesantă de J. Sondow (2005) este dubla integrală si seriile alternate:
ln ( 4 π ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x − 1 ( 1 + x y ) ln ( x y ) d x d y = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 1 n − ln n + 1 n ) . {\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right).} Aceasta arată că ln ( 4 π ) {\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)} poate fi abordată ca o "Constanta alternativă Euler".
Cele 2 constante sunt de asemenea asemănătoare cu următoarele 2 serii:
∑ n = 1 ∞ N 1 ( n ) + N 0 ( n ) 2 n ( 2 n + 1 ) = γ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\gamma } ∑ n = 1 ∞ N 1 ( n ) − N 0 ( n ) 2 n ( 2 n + 1 ) = ln ( 4 π ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)} unde N 1 (n ) și N 0 (n ) sunt numerele 1 și 0, respectiv, în baza 2 a extinderii lui n .
De asemenea, aceasta este constanta Catalan din 1875:
γ = ∫ 0 1 1 1 + x ∑ n = 1 ∞ x 2 n − 1 d x . {\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx.}