Dodecadodecaedru trunchiat

Descriere
Dodecadodecaedru trunchiat

(model 3D)
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	54 (30 pătrate, 12 decagoane, 12 decagrame)
Laturi (muchii)	180
Vârfuri	120
χ	−16
Configurația vârfului	4.10/9.10/3^[1]
Simbol Wythoff	2 5 5/3 \|^[1]
Simbol Schläfli	t_0,1,2{5/3,5}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I_h, [5,3], (*532) ^[1]
Volum	15 $a$ ³ ( $a$ = latura)
Poliedru dual	triacontaedru disdiakis medial
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie dodecadodecaedrul trunchiat este un poliedru uniform neconvex, cu indicele U₅₉. Are 54 de fețe (30 de pătrate, 12 decagoane și 12 decagrame), 180 de laturi și 120 de vârfuri.^[1] Având 52 de fețe este un pentacontatetraedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă muchii sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi. Zona centrală a poliedrului este conectată cu exteriorul prin 20 de mici orificii triunghiulare.

Are simbolul Wythoff 2 5 5/3 |^[1], simbolul Schläfli t_0,1,2{5/3,5} și diagrama Coxeter .

Denumirea de „dodecadodecaedru trunchiat” este oarecum înșelătoare: trunchierea dodecadodecaedrului ar produce fețe dreptunghiulare, nu pătrate, iar fețele pentagramelor dodecadodecaedrului s-ar transforma în pentagrame trunchiate în loc de decagrame. Totuși, este o cvasitrunchiere a dodecadodecaedrului, așa cum este definită de Coxeter, Longuet-Higgins și Miller în 1954.^[2] Din acest motiv mai este cunoscut drept dodecadodecaedrul cvasitrunchiat. Coxeter ș.a. atribuie descoperirea sa matematicianului austriac Johann Pitsch, care l-a prezentat într-un articol publicat în 1881.^[3]

Mărimi asociate modificare

Coordonate carteziene modificare

coordonatele carteziene ale vârfurilor sale, cu lungimea laturii 2, centrat în origine, sunt toate permutările ale:^[4]^[5]

\left(\,\pm 1,\,\pm 1,\,\pm 3\,\right)

\left(\,\pm 1,\,\pm {\sqrt {5}},\,\pm {\sqrt {5}}\,\right)

și toate permutările pare ale:

\left(\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (\varphi -1),\,\pm 2\varphi \,\right)

\left(\,\pm (\varphi +1),\,\pm \varphi ,\,\pm 2(\varphi -1)\,\right)

\left(\,\pm (\varphi +1),\,\pm (2-\varphi ),\,\pm 2\,\right)

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise modificare

Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturilor egală cu $a$ este:^[6]

R={\frac {11}{2}}\,a\approx 1,658312\,a.

Volum modificare

Următoarea formulă pentru volum $V$ este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) $a$ :

V=15\,a^{3}.

Poliedre înrudite modificare

Dual: triacontaedru disdiakis medial

Poliedru dual modificare

Dualul său este triacontaedru disdiakis medial.^[7]

Note modificare

^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „59: truncated dodecadodecahedron”. MathConsult. Accesat în 18 ianuarie 2024.
^ en Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), „Uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 246 (916): 401–450, Bibcode:1954RSPTA.246..401C, doi:10.1098/rsta.1954.0003, JSTOR 91532, MR 0062446
^ en Pitsch, Johann (1881), „Über halbreguläre Sternpolyeder”, Zeitschrift für das Realschulwesen, 6: 9–24, 72–89, 216 . După Coxeter ș.a., dodecadodecaedrul trunchiat apare la nr. XII la p. 86
^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
^ en Eric W. Weisstein, Truncated Dodecadodecahedron la MathWorld.
^ en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

Vezi și modificare

Lista poliedrelor uniforme

Legături externe modificare

en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: quitdid

[mc-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „59: truncated dodecadodecahedron”. MathConsult. Accesat în 18 ianuarie 2024.

[2] Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), „Uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 246 (916): 401–450, Bibcode:1954RSPTA.246..401C, doi:10.1098/rsta.1954.0003, JSTOR 91532, MR 0062446

[3] Pitsch, Johann (1881), „Über halbreguläre Sternpolyeder”, Zeitschrift für das Realschulwesen, 6: 9–24, 72–89, 216 . După Coxeter ș.a., dodecadodecaedrul trunchiat apare la nr. XII la p. 86

[4] Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids

[5] Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.

[6] Eric W. Weisstein, Truncated Dodecadodecahedron la MathWorld.

[7] Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]