Dodecaedru excavat
| Dodecaedru excavat | |
 | |
| (model 3D) | |
| Descriere | |
|---|---|
| Tip | poliedru stelat |
| Fețe | 20 |
| Laturi (muchii) | 60 |
| Vârfuri | 20 |
| χ | −20 |
| Grup de simetrie | Ih, [5,3], (*532) |
| Grup de rotație | I, [5,3]+, (532) |
| Volum | ≈ 4,045 a3 (a = latura) |
| Poliedru dual | autodual |
| Proprietăți | nobil, neconvex, tranzitiv pe vârfuri și pe fețe |
| Figura vârfului | |
 | |
În geometrie dodecaedrul excavat este un poliedru stelat care arată ca un dodecaedru regulat cu piramide pentagonale concave în locul fețelor sale. Suprafața sa exterioară reprezintă stelarea Ef1g1 a icosaedrului din cartea The Fifty-Nine Icosahedra. Apare în cartea lui Magnus Wenninger Polyhedron Models ca modelul 28, a treia stelare a icosaedrului.
Descriere modificare
Toate cele 20 de vârfuri și 30 din cele 60 de laturi ale sale aparțin anvelopei sale, un dodecaedru regulat. Celelalte 30 de laturi interne sunt mai lungi și aparțin unui mare dodecaedru stelat. (Fiecare conține una dintre cele 30 de laturi ale nucleului, icosaedric regulat.) Fiecare față este o hexagramă cu muchii lungi și scurte alternând și unghiuri de 60°. Triunghiurile echilaterale care ating o latură scurtă fac parte din față.
| Nucleu | Laturi lungi | Fețe | Anvelopă | Secțiune |
|---|---|---|---|---|
 Icosaedru |
 Marele dodecaedru stelat |
 
|
 Dodecaedru |
 O față hexagonală (albastru) |
Fațetarea dodecaedrului modificare
Având 20 de hexagoane autointersectate ca fețe, are aceeași formă externă ca o anumită fațetare a dodecaedrului. Fața hexagonală neconvexă poate fi împărțită în patru triunghiuri echilaterale, dintre care trei au aceeași dimensiune. Un dodecaedru excavat adevărat are cele trei triunghiuri echilaterale congruente ca fețe adevărate ale poliedrului, în timp ce triunghiul echilateral interior nu este considerat față. Fațetarea este un poliedru nobil.
Cele 20 de vârfuri ale anvelopei convexe se potrivesc cu aranjamentul vârfurilor dodecaedrului.
Stelare modificare
După Wenninger, este al 28-lea model al său, „a treia stelare”.
Mărimi asociate modificare
Coordonate carteziene modificare
Coordonatele carteziene ale vârfurilor dodecaedrului excavat cu lungimea laturii scurte 2, centrat în origine, sunt aceleași cu ale dodecaedrului regulat, adică toate permutările pare ale:[1][2]
împreună cu toate permutările pare ale
unde este secțiunea de aur.
Raza sferei circumscrise modificare
Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturii scurte a este:[2]
Volum modificare
Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor scurte a:
Forme înrudite modificare
  Un dodecaedru pentakis (stânga) cu piramide inversate (dreapta) are aceeași suprafață ca și dodecaedrul excavat. |
 Marele dodecaedru (stânga) este un icosaedru regulat. Are și el 60 de triunghiuri vizibile. Dar spre deosebire de dodecaedrul excavat (dreapta) are fețe convexe, prin urmare fără laturi interioare. |
      Fețele dodecaedrului excavat (stânga) fac parte din fețele marelui icosaedru (dreapta). Extinderea laturilor scurte ale unui hexagon până când se întâlnesc dă triunghiul care îl conține. Înlocuirea fiecărui hexagon care se intersectează cu unul convex dă o figură care conține laturile compusului de cinci cuburi (mijloc). Dar acesta nu este cu adevărat un poliedru, deoarece fiecare dintre aceste laturi aparține unei singure fețe. | |
Pavare modificare
Cu șase fețe cu șase laturi în jurul fiecărui vârf, este echivalent topologic cu un spațiul cât(d) hiperbolic al pavării hexagonale de ordinul 6, {6,6} și este un tip abstract {6 ,6}6. Este unul dintre cele zece poliedre regulate abstracte de indice doi cu vârfuri pe o orbită.[3][4]
Note modificare
- ^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, 3.6 6.2 Stellating the Platonic solids, pp. 96–104
- ^ a b en David McCooey, Excavated dodecahedron, dmccooey.com, accesat 2024-04-13
- ^ en Anthony M. Cutler, Egon Schulte, Regular Polyhedra of Index Two, I 2010
- ^ en Regular Polyhedra of Index Two, II Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357-387, November 2010, Table 3, p. 27
| Selecție din cele 59 de posibile stelări ale icosaedrului | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Regulat | Duale ale uniformelor | Compuși regulați | Stelare regulată | Altele | |||||
| Icosaedru (convex) |
Micul icosaedru triambic | Marele icosaedru triambic | Compus de cinci octaedre |
Compus de cinci tetraedre |
Compus de zece tetraedre |
Marele icosaedru | Dodecaedru excavat | Stelarea finală | |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| Procesul de stelare al icosaedrului creează un număr de poliedre și compuși înrudiți, cu simetrie icosaedrică. | |||||||||