Fractal pinwheel

Colocvial, un fractal este "o figură geometrică fragmentată sau frântă care poate fi divizată în părți, astfel încât fiecare dintre acestea să fie (cel puțin aproximativ) o copie miniaturală a întregului". Termenul a fost introdus de Benoît Mandelbrot în 1975 și este derivat din latinescul fractus, însemnând "spart" sau "fracturat".

Graniţa mulţimii lui Mandelbrot este un exemplu faimos de fractal.

Cum functioneaza fractalul Pinwheel

Fractalul, ca obiect geometric, are în general următoarele caracteristici:

• Are o structură fină la scări arbitrar de mici.
• Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian tradițional.
• Este autosimilar (măcar aproximativ sau stochastic).
• Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică (deși această cerință nu este îndeplinită de curbele Hilbert).
• Are o definiție simplă și recursivă.

Istorie

Matematicienii au crezut mult timp că orice pavare (figuri geometrice) care pavează o suprafață, trebuie să fie una periodică. In 1994, John Conway și Charles Radin au găsit un "joc" conținând o infinitate de figuri geometrice (de obicei proporționale ca mărime) care, datorită unei rotații, se reduce la o singură figură geometrică: un triunghi dreptunghic cu catetele de 1 si 2 si cu ipotenuza de √5. Pavarea Pinwheel este o pavare de tip aperiodică definită de către Charles Radin și făcută după o construcție de-a lui John Conway. Ei sunt cunoscuți a fi primii care au reușit să construiască o pavare aperiodică putând apărea într-o infinitate de orientări.

Utilitate

Federation Square, un complex de cladiri din Melbourne, Australia are la baza o arhitectura formata din o multime de triunghiuri Pinwheel. In acest caz, triunghiurile Pinwheel sunt folosite pentru structura fatadei. Cinci triunghiuri similare au fost puse impreuna pentru a alcatui un panel. Pe urma, 5 paneluri sunt puse impreuna pentru a alcatui un "mega-panel". Fixarea prin anumite rotatii a panelelor pe fatada dau fatedei un stil aleatoriu si incert de o compozitie de calitate chiar daca procesul de constructie are la baza prefabricatie si repetitie

Complexitate

${\begin{aligned}&{\text{1)}}\ \Lambda \subset {\bigcup }_{n\in \mathbb {Z} }R_{n\theta }\mathbb {Z} ^{2},\ where\ \theta :=2\arctan {\left({\frac {1}{2}}\right)}\\&{\text{2)}}\ \Lambda \subset \left\{\left({\tfrac {n}{5^{k}}},{\tfrac {m}{5^{k}}}\right)\ {\big |}\ m,n\in \mathbb {Z} ,\ k\in \mathbb {N} _{0}\right\}\\&{\text{3)}}\ The\ distance\ set\ {\mathcal {D}}\ {=}\ {\mathcal {D}}_{\Lambda }:=\left\{|x-y|\ {\big |}\ x,y\in \Lambda \right\}\ is\ a\ subset\ of\ \left\{{\sqrt {\tfrac {p^{2}+q^{2}}{5^{\ell }}}}\ {\big |}\ p,q,\ell \in \mathbb {N} _{0}\right\}\\\end{aligned}}$

Bibliografie

• The fractal dual of the pinwheel tiling
• Pinwheel patterns and powder diffraction
• A Fractal Version of the Pinwheel Tiling->Libra.msra.cn^{[nefuncțională]}
• A Fractal Version of the Pinwheel Tiling->arXiv.org

Legături externe

• Pinwheel Arhivat în 31 ianuarie 2016, la Wayback Machine. de pe "Tilings Encyclopedia"
• A fractal version of the pinwheel tiling de pe "Arxiv.org"
• Hausdorff dimension de pe "The Encyclopedia of Mathematics"