Limită a unei funcții

În calculul diferențial și calculul integral un concept important este cel de limită a unei funcții.

Limita unei funcții într-un punct

Conceptul de limită a unei funcții într-un punct este folosit în studiul continuității, derivatei, integralei și alte studii.

Considerând o funcție $f:A\subset \mathbb {R} ^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{1}.\!$ se analizează comportamentul lui $f(x)\!$ atunci când x se apropie de o valoare reală fixată x_o. Pentru aceasta se presupune că f(x) este definită pentru orice x care se apropie de x_o. Cu alte cuvinte, se presupune că domeniul de definiție A conține o mulțime de forma $(x_{0}-r,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+r)\!$ unde $r>0.\!$

Definiție („definiția cu ε (epsilon) și δ (delta)”): Funcția f are limita l în punctul x_o dacă pentru orice $\epsilon >0\!$ există un număr $\delta =\delta (\epsilon )>0\!$ astfel ca $|f(x)-l|<\epsilon ,\;\forall x\in A,\;x\neq x_{0}\!$ și $|x-x_{0}|<\delta .\!$

Faptul că funcția f are limita l în punctul x_o se notează:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\!$ sau $f(x){\underset {x\to x_{0}}{\rightarrow }}l.\!$

Definiție („definiția cu șiruri”): Se spune că funcția f are limita l (finită sau infinită) în punctul $x_{0}$ dacă pentru orice șir $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ convergent către $x_{0}\;(x_{n}\in E,\;x_{n}\neq x_{0})$ șirul valorilor funcției $\{f(x_{n})\}_{n\in \mathbb {N} }$ este convergent către l.

Cazuri limită

Pentru cazul când unul sau amândouă numerele x_o și l nu sunt finite, există următoarele definiții: $1^{\circ }.\quad \lim _{x\to \infty }=l\;$   înseamnă: pentru orice $\epsilon >0,$ există un $\delta (\epsilon ),$ astfel încât oricare ar fi $x\in E$ cu proprietatea $x>\delta (\epsilon )$ să avem $|f(x)-l|<\epsilon .$

$2^{\circ }.\quad \lim _{x\to -\infty }f(x)=l\;$   înseamnă: pentru orice $\epsilon >0,$ există un $\delta (\epsilon ),$ astfel încât oricare ar fi $x\in E$ cu proprietatea $x<\delta (\epsilon )$ să avem $|f(x)-l|<\epsilon .$

$3^{\circ }.\quad \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty \;$   înseamnă: pentru orice $\epsilon$ există un $\delta (\epsilon )>0,$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,\;x\neq x_{0}$ cu proprietatea $|x-x_{0}|<\delta (\epsilon )$ să avem $f(x)>\epsilon .$

$4^{\circ }.\quad \lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty \;$   înseamnă: pentru orice $\epsilon$ există un $\delta (\epsilon )>0,$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,\;x\neq x_{0}$ cu proprietatea $|x-x_{0}|<\delta (\epsilon )$ să avem $f(x)<\epsilon .$

$5^{\circ }.\quad \lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty \;$   înseamnă: pentru orice $\epsilon$ există un $\delta (\epsilon ),$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,\;$ cu proprietatea $x>\delta (\epsilon )$ să avem $f(x)>\epsilon .$

$6^{\circ }.\quad \lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty \;$   înseamnă: pentru orice $\epsilon$ există un $\delta (\epsilon )>0,$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,\;$ cu proprietatea $|x-x_{0}|<\delta (\epsilon )$ să avem $f(x)<\epsilon .$

$7^{\circ }.\quad \lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty \;$   înseamnă: pentru orice $\epsilon$ există un $\delta (\epsilon ),$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,\;$ cu proprietatea $x<\delta (\epsilon )$ să avem $f(x)>\epsilon .$

$8^{\circ }.\quad \lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \;$   înseamnă: pentru orice $\epsilon$ există un $\delta (\epsilon ),$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,\;$ cu proprietatea $x<\delta (\epsilon )$ să avem $f(x)<\epsilon .$

Limite laterale ale unei funcții

Definiție: Se spune că funcția $f:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ are în punctul $x_{o}$ (punct de acumulare al mulțimii E) limita la stânga $l_{s}$, dacă pentru orice vecinătate U a lui $l_{s}$ există o vecinătate V a lui $x_{o}$, astfel încât, oricare ar fi $x<x_{0},\;x\in V\cap E,$ să avem $f(x)\in U.$

Se notează:

$\lim _{\begin{matrix}x\to x_{0}\\x<x_{0}\end{matrix}}f(x)=f(x_{0}-0)=l_{s}.$

În mod similar se definește limita la dreapta și se notează:

$\lim _{\begin{matrix}x\to x_{0}\\x>x_{0}\end{matrix}}f(x)=f(x_{0}+0)=l_{d}.$

Proprietăți

Teorema 1. Fie $f:E\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ o funcție și $x_{0}$ un punct de acumulare al lui E. Dacă $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l,$ atunci $\lim _{x\to x_{0}}|f(x)|=|l|.$

Teorema 2. (Criteriul majorării) Dacă f și g sunt definite pe E, dacă $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=0$ și dacă există un număr finit l și o vecinătate V a lui $x_{0}$, astfel încât să fie valabilă inegalitatea $|f(x)-l|\leq g(x),$ pentru orice $x\in V\cap E,\;\;x\neq x_{0}$ atunci $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l.$

Limita unei funcții compuse

Fie funcțiile $u:E\subseteq \mathbb {R} \to F\subseteq \mathbb {R} ;\;\;f:F\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ și funcția compusă:

$f\circ u:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(f\circ u)(x)=f(u(x))$

pentru $x\in E.$ Fie $x_{0}$ un punct de acumulare al lui E și $u_{0}$ un punct de acumulare al lui F.

Teoremă. Dacă $\lim _{x\to x_{0}}u(x)=u_{0}$ și dacă $\lim _{u\to u_{0}}f(u)=l,$ atunci funcția compusă $f\circ u$ are limită în $x_{0}$ și

$\lim _{x\to x_{0}}f(u(x))=\lim _{u\to u_{0}}f(u)=l.$

Bibliografie

• Constantin Ionescu-Țiu, Liviu Pârșan, Calcul diferențial și integral pentru admitere în facultate, Editura Albatros, București, 1975

Vezi și

• Funcție continuă
• Derivată
• Limită a unui șir