Matrice de comutare

În matematică, în special în algebra liniară, o matrice de comutare este folosită pentru transformarea formei vectorizate a unei matrice în forma vectorizată a transpusei. Mai exact, matricea de comutare K^(m,n) este matricea nm × mn care, pentru orice matrice A m × n, transformă vec(A) în vec(A^T):

K^(m,n) vec(A) = vec(A^T) .

Aici vec(A) este vectorul coloană mn × 1 obținut prin aranjarea coloanelor lui A una peste alta:

$\operatorname {vec} (\mathbf {A} )=[\mathbf {A} _{1,1},\ldots ,\mathbf {A} _{m,1},\mathbf {A} _{1,2},\ldots ,\mathbf {A} _{m,2},\ldots ,\mathbf {A} _{1,n},\ldots ,\mathbf {A} _{m,n}]^{\mathrm {T} }$

unde A = [A_i,j]. Cu alte cuvinte, vec(A) este vectorul obținut prin vectorizarea lui A în ordinea principală a coloanelor. Similar, vec(A^T) este vectorul care se obține prin vectorizarea lui A în ordinea principală a liniilor.

Proprietăți

• Matricea de comutare este un tip special de matrice de permutare, prin urmare, este ortogonală^⁠(d). În special, K^(m,n) este egală cu $\mathbf {P} _{\pi }$, unde $\pi$ este permutarea peste $\{1,\dots ,mn\}$ pentru care

$\pi (i+m(j-1))=j+n(i-1),\quad i=1,\dots ,m,\quad j=1,\dots ,n.$

• Înlocuirea lui A cu A^T în definiția matricei de comutare arată că K ^(m,n) = (K^(n,m))^T. Prin urmare, în cazul particular al lui m = n matricea de comutare este o involuție și o matrice simetrică.

• Utilizarea principală a matricei de comutare și sursa numelui acesteia este de a comuta produsul Kronecker: pentru orice matrice A m × n și orice matrice B r × q,

$\mathbf {K} ^{(r,m)}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {K} ^{(n,q)}=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} .$

Această proprietate este adesea folosită în dezvoltarea statisticilor de ordin superior ale matricelor de covarianță Wishart.

• Cazul lui n = q = 1 pentru ecuația de mai sus arată că pentru orice vectori coloană v,w de dimensiuni m,r există

$\mathbf {K} ^{(r,m)}(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {w} \otimes \mathbf {v} .$

Această proprietate este motivul pentru care această matrice este denumită operator de schimb în contextul teoriei informației cuantice.

• Două forme explicite pentru matricea de comutare sunt următoarele: dacă prin e_r,j se notează al j-lea vector canonic al dimensiunii „r” (adică vectorul cu 1 în a j-a coordonată și 0 în rest) atunci

$\mathbf {K} ^{(r,m)}=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{m}\left(\mathbf {e} _{r,i}{\mathbf {e} _{m,j}}^{\mathrm {T} }\right)\otimes \left(\mathbf {e} _{m,j}{\mathbf {e} _{r,i}}^{\mathrm {T} }\right)=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{m}\left(\mathbf {e} _{r,i}\otimes \mathbf {e} _{m,j}\right)\left(\mathbf {e} _{m,j}\otimes \mathbf {e} _{r,i}\right)^{\mathrm {T} }.$

• Matricea de comutare poate fi exprimată ca următoarea matrice de blocuri:

$\mathbf {K} ^{(m,n)}={\begin{bmatrix}\mathbf {K} _{1,1}&\cdots &\mathbf {K} _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {K} _{m,1}&\cdots &\mathbf {K} _{m,n},\end{bmatrix}},$

unde elementul p,q al matricei de blocuri K_i,j n × m este dat de

$\mathbf {K} _{ij}(p,q)={\begin{cases}1&i=q{\text{ si }}j=p,\\0&{\text{altfel}}.\end{cases}}$

De exemplu,

$\mathbf {K} ^{(3,4)}=\left[{\begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\\hline 0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\\hline 0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{array}}\right].$

Exemplu

Fie $A$ matricea $3\times 2$:

$A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\\\end{bmatrix}}.$

$A$ are vectorizarea în ordinea princpală a coloanelor, respectiv în ordinea princpală a liniilor:

$\mathbf {v} _{\text{col}}=\operatorname {vec} (A)={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\text{row}}=\operatorname {vec} (A^{\mathrm {T} })={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\5\\3\\6\\\end{bmatrix}}.$

Matricea de comutare asociată este

$K=\mathbf {K} ^{(3,2)}={\begin{bmatrix}1&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &1&\cdot &\cdot \\\cdot &1&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1&\cdot \\\cdot &\cdot &1&\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1\\\end{bmatrix}},$

(unde orice $\cdot$ indică un zero). După cum este de așteptat, sunt valabile relațiile:

$K^{\mathrm {T} }K=KK^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{6}$

$K\mathbf {v} _{\text{col}}=\mathbf {v} _{\text{row}}$

Bibliografie

• Jan R. Magnus and Heinz Neudecker (1988), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, Wiley.