Analiză numerică

Analiza numerică este studiul algoritmilor pentru problemele de aproximare numerică ale matematicii continue (analiză matematică; compară cu matematică discretă). Aceasta înseamnă ca ea este preocupată în principal cu variabile reale sau complexe, analiza lineară numerică peste corpul numerelor reale sau complexe, soluțiile ecuațiilor transcendente și diferențiale, sau a problemelor înrudite din științe naturale, inginerie, științe economice, etc.

În Antichitate

Analiza matematică a fost dezvoltată formal în secolul al XVII-lea în timpul Revoluției Științifice, dar multe dintre ideile sale pot fi urmărite până la matematicieni mai vechi. Rezultatele timpurii în analiză erau implicit prezente în zilele începuturilor matematicii antice grecești. De exemplu, o sumă geometrică infinită este implicită în paradoxul lui Zeno al dicotomiei. (Strict vorbind, punctul paradoxului este de a nega existența sumei infinite.) Mai târziu, matematicienii greci precum Eudoxus și Arhimede au făcut uz mai explicit, dar informal, de conceptele de limite și convergență când au folosit metoda epuizării pentru a calcula aria și volumul regiunilor și solidelor. Utilizarea explicită a infinitezimalilor apare în lucrarea lui Arhimede "Metoda Teoremelor Mecanice", o lucrare redescoperită în secolul al XX-lea. În Asia, matematicianul chinez Liu Hui a folosit metoda epuizării în secolul al III-lea EC pentru a găsi aria unui cerc. Din literatura Jaină, pare că hindușii erau în posesia formulelor pentru suma seriei aritmetice și geometrice încă din secolul al IV-lea î.Hr. Ācārya Bhadrabāhu folosește suma unei serii geometrice în Kalpasūtra sa în 433 î.Hr.

În Evul Mediu

Zu Chongzhi a stabilit o metodă care mai târziu avea să fie numită principiul lui Cavalieri pentru a găsi volumul unei sfere în secolul al V-lea. În secolul al XII-lea, matematicianul indian Bhāskara II a folosit infinitezimalul și a utilizat ceea ce este acum cunoscut sub numele de teorema lui Rolle.

În secolul al XIV-lea, Madhava din Sangamagrama a dezvoltat expansiuni ale seriilor infinite, acum numite serii Taylor, ale funcțiilor precum sinus, cosinus, tangenta și arccotangenta. Împreună cu dezvoltarea seriilor Taylor ale funcțiilor trigonometrice, el a estimat magnitudinea termenilor de eroare rezultând din trunchierea acestor serii și a dat o aproximare rațională a unor serii infinite. Urmăritorii săi de la Școala de Astronomie și Matematică din Kerala au extins ulterior lucrările sale, până în secolul al XVI-lea.

În Epoca Contemporană

Începuturile moderne ale analizei matematice au fost stabilite în Europa secolului al XVII-lea. Acest lucru a început atunci când Fermat și Descartes au dezvoltat geometria analitică, care este precursorul calculului modern. Metoda lui Fermat i-a permis să determine maximele și minimele funcțiilor și tangentele curbelor. Publicarea lui Descartes a lucrării "La Géométrie" în 1637, care a introdus sistemul de coordonate carteziene, este considerată stabilirea analizei matematice. Avea să mai treacă câteva decenii până când Newton și Leibniz au dezvoltat independent calculul infinitezimal, care s-a extins, cu stimularea muncii aplicate care a continuat în secolul al XVIII-lea, în subiecte de analiză precum calculul variațiilor, ecuațiile diferențiale ordinare și parțiale, analiza Fourier și funcțiile generatoare. În această perioadă, tehnicile de calcul au fost aplicate pentru a aproxima probleme discrete prin probleme continue.

În secolul al XVIII-lea, Euler a introdus noțiunea de funcție matematică. Analiza reală a început să apară ca un subiect independent când Bernard Bolzano a introdus definiția modernă a continuității în 1816, dar lucrările lui Bolzano nu au devenit larg cunoscute până în anii 1870. În 1821, Cauchy a început să pună calculul pe o temelie logică solidă, respingând principiul generalității algebrei folosit pe scară largă în lucrările anterioare, în special de Euler. În schimb, Cauchy a formulat calculul în termeni de idei geometrice și infinitezimali. Astfel, definiția sa a continuității a cerut o schimbare infinitezimală în x să corespundă unei schimbări infinitezimale în y. De asemenea, a introdus conceptul de secvență Cauchy și a început teoria formală a analizei complexe. Poisson, Liouville, Fourier și alții au studiat ecuațiile diferențiale parțiale și analiza armonică. Contribuțiile acestor matematicieni și alții, cum ar fi Weierstrass, au dezvoltat abordarea (ε, δ) a definiției limite, fondând astfel domeniul modern al analizei matematice. În jurul aceluiași timp, Riemann a introdus teoria sa a integrării și a făcut progrese semnificative în analiza complexă.

Spre sfârșitul secolului al XIX-lea, matematicienii au început să se îngrijoreze că presupuneau existența unui continuu de numere reale fără o dovadă. Dedekind a construit atunci numerele reale prin tăieturi Dedekind, în care numerele iraționale sunt definite formal, ceea ce servește pentru a umple "găurile" dintre numerele raționale, creând astfel un set complet: continuul numerelor reale, care fusese deja dezvoltat de Simon Stevin în termeni de expansiuni zecimale. În jurul acelei perioade, încercările de rafinare a teoremelor de integrare Riemann au dus la studiul "dimensiunii" mulțimii de discontinuități ale funcțiilor reale.

De asemenea, diferite obiecte patologice (cum ar fi funcțiile niciunde continue, funcțiile continue dar niciunde diferențiabile și curbele care umplu spațiul), cunoscute sub numele de "monștri", au început să fie investigate. În acest context, Jordan a dezvoltat teoria sa a măsurii, Cantor a dezvoltat ceea ce este acum numită teoria naivă a mulțimilor, iar Baire a dovedit teorema categoriei Baire. La începutul secolului al XX-lea, calculul a fost formalizat folosind o teorie axiomatică a mulțimilor. Lebesgue a îmbunătățit considerabil teoria măsurii și a introdus propria sa teorie a integrării, acum cunoscută sub numele de integrarea Lebesgue, care s-a dovedit a fi o îmbunătățire semnificativă față de cea a lui Riemann. Hilbert a introdus spațiile Hilbert pentru a rezolva ecuațiile integrale. Ideea de spațiu vectorial normat era în aer, iar în anii 1920 Banach a creat analiza funcțională.

Vezi și

• Sistem de calcul numeric