Definiție .
Fie grupul
(
G
,
∗
)
{\displaystyle (G,*)}
e elementul neutru.
Elementul
a
∈
G
.
{\displaystyle a\in G.}
∃
m
∈
N
∗
,
a
m
=
e
.
{\displaystyle \exists m\in \mathbb {N} ^{*},\;\;a^{m}=e.}
În acest caz,
min
{
m
∈
N
∗
|
a
m
=
e
}
=
o
r
d
(
a
)
{\displaystyle \min\{m\in \mathbb {N} ^{*}|a^{m}=e\}=ord(a)}
se numește ordinul elementului
a
{\displaystyle a}
Elementul
a
∈
G
{\displaystyle a\in G}
a nu este de ordin finit.
Teoremă .
Fie grupul
(
G
,
∗
)
{\displaystyle (G,*)}
a
∈
G
.
{\displaystyle a\in G.}
Dacă
o
r
d
(
a
)
=
n
∈
N
∗
,
{\displaystyle ord(a)=n\in \mathbb {N} ^{*},}
e
,
a
,
a
2
,
⋯
,
a
n
−
1
{\displaystyle e,a,a^{2},\cdots ,a^{n-1}}
∀
k
∈
Z
,
a
k
=
a
k
(
m
o
d
n
)
.
{\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} ,\;a^{k}=a^{k(mod\;n)}.}
o
r
d
(
a
)
=
∞
⇔
∀
k
1
,
k
2
∈
Z
,
a
k
1
≠
a
k
2
.
{\displaystyle ord(a)=\infty \;\;\Leftrightarrow \;\;\forall k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} ,\;\;a^{k_{1}}\neq a^{k_{2}}.}
1.
Fie grupul
(
G
,
∗
)
.
{\displaystyle (G,*).\;}
a
∈
G
{\displaystyle \;a\in G}
o
r
d
(
a
)
=
n
∈
N
∗
,
{\displaystyle ord(a)=n\in \mathbb {N} ^{*},}
o
r
d
⟨
a
⟩
=
n
{\displaystyle ord\;\langle a\rangle =n}
⟨
a
⟩
=
{
e
,
a
,
a
2
,
⋯
,
a
n
−
1
}
,
{\displaystyle \langle a\rangle =\{e,a,a^{2},\cdots ,a^{n-1}\},}
unde
⟨
a
⟩
=
{
a
k
|
k
∈
Z
}
{\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{k}\;|\;k\in \mathbb {Z} \}}
a .
2.
Grupul finit
G
{\displaystyle \;G}
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
[1]
⇔
G
{\displaystyle \Leftrightarrow \;G\;}
n .
3.
Fie grupul
(
G
,
∗
)
.
{\displaystyle (G,*).\;}
x
∈
G
,
o
r
d
(
x
)
=
n
∈
N
∗
{\displaystyle x\in G,\;\;ord\;(x)=n\in \mathbb {N} ^{*}}
k
∈
Z
,
x
k
=
e
,
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,\;x^{k}=e,}
n
|
k
.
{\displaystyle n|k.}
Demonstrație.
Conform teoremei împărțirii cu rest , există și sunt unice numerele întregi q , r cu proprietățile:
0
≤
r
<
o
r
d
(
x
)
{\displaystyle 0\leq r<ord(x)}
k
=
o
r
d
(
x
)
∗
q
+
r
.
{\displaystyle k=ord(x)*q+r.}
Atunci
x
k
=
x
n
q
+
r
=
(
x
n
)
q
∗
x
r
{\displaystyle x^{k}=x^{nq+r}=(x^{n})^{q}*x^{r}}
x
n
=
e
,
{\displaystyle x^{n}=e,}
r
=
0
,
{\displaystyle r=0,}
k
=
n
⋅
q
,
{\displaystyle k=n\cdot q,}
n
|
k
.
{\displaystyle n|k.}
4.
Orice element al unui grup finit are ordinul finit.
5.
Orice două grupuri ciclice de același ordin sunt izomorfe .
Dacă G este un grup ciclic de ordinul n , atunci
(
G
,
∗
)
≈
(
Z
,
+
)
.
{\displaystyle (G,*)\approx (\mathbb {Z} ,+).}
6.
Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.
7.
Dacă
x
,
y
∈
G
{\displaystyle x,y\in G}
a)
o
r
d
(
x
)
=
o
r
d
(
x
−
1
)
{\displaystyle ord\;(x)=ord\;(x^{-1})}
b)
o
r
d
(
x
∗
y
)
=
o
r
d
(
y
∗
x
)
.
{\displaystyle ord\;(x*y)=ord\;(y*x).}
Demonstrație .
a) I.
Dacă
o
r
d
(
x
)
=
n
∈
N
∗
{\displaystyle ord\;(x)=n\in \mathbb {N} ^{*}\;}
x
n
=
e
{\displaystyle x^{n}=e}
(
x
−
1
)
n
=
(
x
n
)
−
1
=
e
−
1
=
e
.
{\displaystyle \left(x^{-1}\right)^{n}=\left(x^{n}\right)^{-1}=e^{-1}=e.}
Fie
k
=
o
r
d
(
x
−
1
)
.
{\displaystyle k=ord\;(x^{-1}).}
3 rezultă
k
|
n
.
{\displaystyle k|n.}
Cum
e
=
(
x
−
1
)
k
=
(
x
k
)
−
1
,
{\displaystyle e=\left(x^{-1}\right)^{k}=\left(x^{k}\right)^{-1},}
x
k
=
e
{\displaystyle x^{k}=e}
o
r
d
(
x
)
=
e
,
{\displaystyle ord\;(x)=e,}
3 rezultă că
n
|
k
.
{\displaystyle n|k.}
n
=
k
.
{\displaystyle n=k.}
II. Dacă
o
r
d
(
x
)
=
∞
{\displaystyle ord\;(x)=\infty }
o
r
d
(
x
−
1
)
=
k
∈
N
∗
.
{\displaystyle ord\;(x^{-1})=k\in \mathbb {N} ^{*}.}
o
r
d
(
x
)
=
o
r
d
(
x
−
1
)
−
1
=
k
,
{\displaystyle ord\;(x)=ord\;(x^{-1})^{-1}=k,}
o
r
d
(
x
−
1
)
=
∞
.
{\displaystyle ord\;(x^{-1})=\infty .}
b) I.
Dacă
o
r
d
(
x
∗
y
)
=
n
∈
N
∗
{\displaystyle ord\;(x*y)=n\in \mathbb {N} ^{*}}
(
x
∗
y
)
k
=
e
⇔
x
∗
(
y
∗
x
)
k
−
1
∗
y
=
e
⇔
(
y
∗
x
)
k
∗
y
=
y
⇔
(
y
∗
x
)
k
=
e
⇔
=
e
,
{\displaystyle (x*y)^{k}=e\;\Leftrightarrow \;x*(y*x)^{k-1}*y=e\;\Leftrightarrow \;(y*x)^{k}*y=y\;\Leftrightarrow \;(y*x)^{k}=e\;\Leftrightarrow \;=e,}
o
r
d
(
y
∗
x
)
=
k
′
∈
N
∗
{\displaystyle ord\;(y*x)=k'\in \mathbb {N} ^{*}}
k
|
k
.
{\displaystyle k|k.}
Dar
(
y
∗
x
)
k
′
=
e
⇔
y
∗
(
x
∗
y
)
k
′
−
1
∗
x
=
e
⇔
(
x
∗
y
)
k
′
=
e
{\displaystyle (y*x)^{k'}=e\;\Leftrightarrow \;y*(x*y)^{k'-1}*x=e\;\Leftrightarrow \;(x*y)^{k'}=e}
o
r
d
(
x
∗
y
)
=
k
{\displaystyle ord\;(x*y)=k}
k
|
k
′
{\displaystyle k|k'}
k
=
k
′
.
{\displaystyle k=k'.}
II. Dacă
o
r
d
(
x
∗
y
)
=
∞
,
{\displaystyle ord\;(x*y)=\infty ,}
o
r
d
(
y
∗
x
)
=
k
∈
N
∗
{\displaystyle ord\;(y*x)=k\in \mathbb {N} ^{*}}
o
r
d
(
x
∗
y
)
=
k
,
{\displaystyle ord\;(x*y)=k,}
o
r
d
(
y
∗
x
)
=
∞
.
{\displaystyle ord\;(y*x)=\infty .}
Se observă că afirmația anterioară este adevărată și în cazul izomorfismelor de grupuri, ceea ce întărește imaginea intuitivă că elementele asociate printr-un izomorfism au aceleași proprietăți.
9.
Fie grupul
(
G
,
∗
)
{\displaystyle (G,*)}
a
,
b
∈
G
{\displaystyle a,b\in G}
o
r
d
(
a
)
=
m
∈
N
∗
,
{\displaystyle ord\;(a)=m\in \mathbb {N} ^{*},}
a
∗
b
=
b
∗
a
.
{\displaystyle a*b=b*a.}
d
=
(
m
,
n
)
,
p
=
[
m
,
n
]
.
{\displaystyle d=(m,n),\;\;p=[m,n].}
a)
o
r
d
(
a
∗
b
)
|
p
{\displaystyle ord\;(a*b)\;|\;p}
b)
p
d
|
o
r
d
(
a
∗
b
)
.
{\displaystyle {\frac {p}{d}}\;|\;ord\;(a*b).}
Demonstrație.
Se știe că dacă
a
∗
b
=
b
∗
a
,
{\displaystyle a*b=b*a,}
∀
k
∈
Z
,
(
a
∗
b
)
k
=
a
k
∗
b
k
{\displaystyle \forall \;k\in \mathbb {Z} ,\;(a*b)^{k}=a^{k}*b^{k}}
a) Se ține cont că
m
=
d
∗
m
1
{\displaystyle m=d*m_{1}}
n
=
d
∗
n
1
,
{\displaystyle n=d*n_{1},}
m
1
,
n
1
∈
N
,
(
m
1
,
n
1
)
=
1
,
{\displaystyle m_{1},n_{1}\in \mathbb {N} ,\;(m_{1},n_{1})=1,}
p
=
d
∗
m
1
∗
n
1
.
{\displaystyle p=d*m_{1}*n_{1}.}
(
a
∗
b
)
p
=
(
a
∗
b
)
d
⋅
m
1
⋅
n
1
=
a
m
⋅
n
1
∗
b
n
⋅
m
1
=
(
a
m
)
n
1
⋅
(
b
n
)
m
1
=
e
{\displaystyle (a*b)^{p}=(a*b)^{d\cdot m_{1}\cdot n_{1}}=a^{m\cdot n_{1}}*b^{n\cdot m_{1}}=\left(a^{m}\right)^{n_{1}}\cdot \left(b^{n}\right)^{m_{1}}=e}
de unde, conform consecinței 3,
k
|
p
,
{\displaystyle k|p,}
o
r
d
(
a
∗
b
)
=
k
.
{\displaystyle ord\;(a*b)=k.}
m
1
∗
n
1
|
k
.
{\displaystyle m_{1}*n_{1}|k.}
(
a
∗
b
)
k
=
e
⇒
a
k
=
b
−
k
⇒
a
k
⋅
n
=
b
−
k
⋅
n
=
e
{\displaystyle (a*b)^{k}=e\;\Rightarrow \;a^{k}=b^{-k}\;\Rightarrow \;a^{k\cdot n}=b^{-k\cdot n}=e}
m
|
k
⋅
n
⇔
d
⋅
m
1
|
k
⋅
d
⋅
n
1
⇒
{\displaystyle m|k\cdot n\;\Leftrightarrow \;d\cdot m_{1}|k\cdot d\cdot n_{1}\;\Rightarrow \;}
⇒
{
m
1
|
k
⋅
n
1
(
m
1
,
n
1
)
=
1
⇒
m
1
|
k
.
{\displaystyle \Rightarrow \;{\begin{cases}m_{1}|k\cdot n_{1}\\(m_{1},n_{1})=1\end{cases}}\;\Rightarrow \;m_{1}|k.}
Analog rezultă că
n
1
|
k
{\displaystyle n_{1}|k}
(
m
1
,
n
1
)
=
1
{\displaystyle (m_{1},n_{1})=1}
m
1
⋅
n
1
|
k
.
{\displaystyle m_{1}\cdot n_{1}\;|k.}
a)
o
r
d
(
a
∗
b
)
|
m
⋅
n
{\displaystyle ord\;(a*b)|m\cdot n}
b) Dacă
a
,
b
∈
G
,
a
∗
b
=
b
∗
a
,
o
r
d
(
a
)
=
m
,
o
r
d
(
b
)
=
n
{\displaystyle a,b\in G,\;a*b=b*a,\;ord\;(a)=m,\;ord\;(b)=n}
(
m
,
n
)
=
1
,
{\displaystyle (m,n)=1,}
o
r
d
(
a
∗
b
)
=
[
m
,
n
]
=
m
⋅
n
.
{\displaystyle ord\;(a*b)=[m,n]=m\cdot n.}
c) Există situații când
o
r
d
(
a
,
b
)
=
[
m
,
n
]
(
m
,
n
)
=
m
1
⋅
n
1
.
{\displaystyle ord\;(a,b)={\frac {[m,n]}{(m,n)}}=m_{1}\cdot n_{1}.}
De exemplu, în grupul
(
Z
12
,
+
)
,
o
r
d
(
6
^
)
=
2
,
o
r
d
(
2
^
)
=
6
{\displaystyle (\mathbb {Z} _{12},+),\;ord\;({\hat {6}})=2,\;ord\;({\hat {2}})=6}
o
r
d
(
2
^
+
6
^
)
=
3.
{\displaystyle ord\;({\hat {2}}+{\hat {6}})=3.}
10.
Fie grupul
(
G
,
∗
)
{\displaystyle (G,*)}
x
∈
G
,
o
r
d
(
x
)
=
n
∈
N
∗
.
{\displaystyle x\in G,\;ord\;(x)=n\in \mathbb {N} ^{*}.}
a)
∀
k
∈
Z
,
o
r
d
(
x
k
)
|
n
{\displaystyle \forall \;k\in \mathbb {Z} ,\;ord\;(x^{k})|n}
b)
∀
k
∈
Z
,
o
r
d
(
x
k
)
=
n
(
k
,
n
)
.
{\displaystyle \forall \;k\in \mathbb {Z} ,\;ord\;(x^{k})={\frac {n}{(k,n)}}.}
11.
Fie
(
G
,
∗
)
{\displaystyle (G,*)}
n
,
G
=
⟨
a
⟩
{\displaystyle n,\;G=\langle a\rangle }
k
∈
Z
.
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}
Atunci:
a
k
{\displaystyle a^{k}}
⇔
(
k
,
n
)
=
1.
{\displaystyle \Leftrightarrow \;(k,n)=1.}
![{\displaystyle d=(m,n),\;\;p=[m,n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776939b4859b58ddf46fdbbe94f036d9755691fe)
![{\displaystyle ord\;(a*b)=[m,n]=m\cdot n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579018d03acde3693f3b99bab681d62db651911e)
![{\displaystyle ord\;(a,b)={\frac {[m,n]}{(m,n)}}=m_{1}\cdot n_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc221c8cb3a796791e45180fa346bb2af75567c4)
