Pol (matematică)

În analiza complexă, un pol al unei funcții olomorfe este un anumit tip de singularitate care se comportă ca și singularitatea 1/zⁿ la z = 0. Aceasta înseamnă că, în particular, un pol al funcției f(z) este un punct z = a cu proprietatea că f(z) tinde uniform la infinit când z tinde la a.

Valoarea absolută a funcției Gama. Aceasta arată că o funcție tinde la infinit în poli (stânga). În dreapta, funcția Gama nu are poli, ea doar crește rapid.

Definiție

Formal, se presupune că U este o submulțime deschisă a planului complex C, a este un element din U iar f : U − {a} → C este o funcție olomorfă. Dacă există o funcție olomorfă g : U → C și un întreg nenegativ n astfel încât

$f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}$

pentru orice z din U − {a}, atunci a se numește pol al lui f. Cel mai mic număr n ce satisface condiția de mai sus se numește ordinul polului. Un pol de ordinul 1 este denumit și pol simplu. Un pol de ordinul 0 este o singularitate eliminabilă.

De mai sus se pot deduce câteva caracterizări echivalente:

Dacă n este de ordinul polului a, atunci neapărat g(a) ≠ 0 pentru funcția g din expresia de mai sus. Deci se poate scrie

$f(z)={\frac {1}{h(z)}}$

pentru un h olomorfă pe o vecinătate a lui a. Deci informal se poate spune că polii apar ca reciproce ale zerourilor funcțiilor olomorfe.

De asemenea, olomorfia lui g, f poate fi exprimată ca:

$f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}.$

Aceasta este o serie Laurent cu parte principală finită. Funcția olomorfă ∑_k≥0a_k (z - a)^k (pe U) se numește partea regulată a lui f. deci punctul a este un pol de ordinul n f dacă și numai dacă toți termenii dezvoltării în sumă Laurent a lui f în jurul lui a dincolo de gradul −n dispar, iar termenul de gradul −n este nenul.

Observații

Dacă prima derivată a unei funcții f are un pol simplu în a, atunci a este un punct de ramificare al lui f. (reciproca nu este neapărat valabilă).

O singularitate neeliminabilă care nu este pol sau punct de ramificare se numește singularitate esențială.

O funcție olomorfă ale cărei singularități sunt toate poli se numește meromorfă.