Polinoamele lui Laguerre

În matematică, polinoamele Laguerre, numite astfel în cinstea lui Edmond Laguerre (1834 - 1886), sunt soluțiile canonice ale ecuației Laguerre:

$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,$

care este o ecuație diferențială liniară de ordinul al doilea. Această ecuație diferențială are soluții nesingulare numai dacă n este un întreg nenegativ.

Aceste polinoame, notate de regulă cu $L_{0},L_{1},\dots$, formează un șir polinomial ce poate fi definit prin formula Rodrigues

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).$

Ele sunt ortogonale unul pe celălalt în raport cu produsul scalar dat de

$\langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.$

Șirul polinoamelor Laguerre este un șir Sheffer.

Polinoamele Laguerre apar în mecanica cuantică, în partea radială a soluției ecuației Schrödinger pentru atomul cu un electron.

Fizicienii folosesc adesea o definiție a polinoamelor Laguerre mai mare cu un factor de $(n!)$, decât definiția folosită aici.

Primele polinoame

Acestea sunt primele polinoame Laguerre:

n	$L_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,$
3	${\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,$
4	${\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,$
5	${\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,$
6	${\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,$

Primele şase polinoame Laguerre

Ca integrală pe contur

Aceste polinoame pot fi exprimate sub formă de integrală pe contur

$L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\;dt$

unde conturul este unul închis, ce ocolește originea în sens trigonometric.

Definiție recursivă

Polinoamele Laguerre se pot defini recursiv, exprimând primele două polinoame ca

$L_{0}(x)=1\,$

$L_{1}(x)=1-x\,$

și apoi folosind relația de recurență pentru orice $k\geq 1$:

$L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}{\bigg (}(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x){\bigg )}$

Polinoame Laguerre generalizate

Proprietatea de ortogonalitate enunțată mai sus este echivalentă cu a spune dă dacă X este o variabilă aleatoare cu distribuție exponențială cu funcția de densitate de probabilitate

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x}&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.$

atunci

$E(L_{n}(X)L_{m}(X))=0\ {\mbox{dc.}}\ n\neq m.$

Distribuția exponențială nu este singura distribuție gamma. Un șir de polinoame ortogonale în raport cu distribuția gamma a căror funcție de densitate de probabilitate este, pentru $\alpha >-1$,

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.$

este dat de rafinarea ecuației Rodrigues pentru polinoamele Laguerre generalizate:

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right).$

Acestea sunt uneori numite polinoame asociate Laguerre. Polinoamele Laguerre simple sunt recuperate din cele generalizate punând $\alpha =0$:

$L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).$

Polinoamele asociate Laguerre sunt ortogonale peste $[0,\infty )$ în raport cu funcția pondere $x^{\alpha }e^{-x}$:

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{nm}.$

Următoarea integrală este necesară pentru tratarea atomului de hidrogen în mecanica cuantică,

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha +1}\left[L_{n}^{(\alpha )}\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).$

Polinoamele asociate Laguerre se supun următoarei ecuații diferențiale:

$xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0.\,$

Ele respectă următoarea relație de recurență pentru $n\geq 1$:

$L_{n+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{n+1}}{\bigg (}(2n+1+\alpha -x)L_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x){\bigg )}.$

Două alte relații de recurență utile sunt

$L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=L_{n+1}^{(\alpha -1)}(x)+L_{n}^{(\alpha )}(x),$

$L_{n+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{n+1}}{\bigg (}(n+1+\alpha )L_{n}^{(\alpha )}(x)-xL_{n}^{(\alpha +1)}(x){\bigg )}.$

Exemple de polinoame Laguerre generalizate

Polinomul Laguerre generalizat de gradul $n$ este (rezultat din aplicarea teoremei lui Leibnitz pentru derivarea produsului asupra formulei Rodrigues)

$L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{m=0}^{n}{n+\alpha \choose n-m}{\frac {(-x)^{m}}{m!}}$

de unde se observă că coeficientul termenului dominant este $(-1)^{n}/n!$ iar termenul liber (care este și valoarea în origine) este ${n+\alpha \choose n}.$

Primele polinoame Laguerre generalizate sunt:

$L_{0}^{(\alpha )}(x)=1$

$L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1$

$L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}$

$L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}$

Derivatele polinoamelor Laguerre generalizate

Derivarea de $k$ ori a reprezentării ca serie de puteri a polinomului Laguerre generalizat conduce la

${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)\,.$

Relația cu polinoamele Hermite

Polinoamele Laguerre generalizate sunt legate de polinoamele Hermite:

$H_{2n}(x)=(-1)^{n}\ 2^{2n}\ n!\ L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})$

și

$H_{2n+1}(x)=(-1)^{n}\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_{n}^{(1/2)}(x^{2})$

unde $H_{n}(x)$ sunt polinoamele Hermite bazate pe funcția pondere $\exp {(-x^{2})}$, așa-numita "versiunea fizicienilor".

Din acest motiv, polinoamele Laguerre generalizate apar în tratamentul oscilatorului cuantic armonic.

Relația cu funcțiile hipergeometrice

Polinoamele Laguerre pot fi definite în termeni de funcții hipergeometrice, anume de funcții hipergeometrice confluente, ca

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)$

unde $(a)_{n}$ este simbolul Pochhammer (care în acest caz reprezintă factorialul crescător).

Legături externe

• Un calcul rapid al polinomului Laguerre în contextul mecanicii cuantice a hidrogenului Arhivat în 19 iunie 2010, la Wayback Machine.

Bibliografie

• Eric W. Weisstein, „Laguerre Polynomial”, de la MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• George Arfken și Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.