Principiul Cantor-Dedekind
Principiul Cantor-Dedekind pune în evidență o proprietate importantă de ordonare a numerelor reale, fiind la baza multor teoreme fundamentale ale analizei matematice. Mai este denumit și principiul de localizare al lui Cantor.
Este asociat cu numele matematicienilor Georg Cantor și Richard Dedekind.
Enunț modificare
Pentru orice familie numărabilă de intervale închise cu avem că
![{\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ddbe3a4213b2f51106f5b4816229bc148d5128)
Demonstrație modificare
Din se deduc inegalitățile:
deoarece în caz contrar, adică dacă ar exista numere naturale cu atunci luând s-ar obține absurd pentru
Mulțimea este majorată superior deci există
Avem că Într-adevăr, în caz contrar ar exista un cu și în consecință există și un cu ceea ce contravine faptului că cele două familii de numere reale sunt disjuncte.
Mulțimea este minorată inferior deci există Urmând același raționament rezultă că
Se arată prin reducere la absurd că
Dacă atunci există cu și având în vedere prima inegalitate rezultă că există un cu fapt care conduce tot la o contradicție. Așadar și sunt două numere reale cu proprietatea că pentru orice și în consecință rezultă că intersecția familiei de intervale este nevidă conținând intervalul
![{\displaystyle [\alpha ,\beta ].\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a139752f2ca47ebf91d01b19d13efdaca595016)
Consecințe modificare
Teorema poate fi utilizată pentru demonstrarea teoremei Weierstrass-Bolzano.
Legături externe modificare
 | Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui. |