Produs cracovian
| Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
În calculele astronomice și geodezice produsul cracovian este o metodă comodă pentru rezolvarea manuală a sistemelor de ecuații liniare, metodă introdusă în anii 1930 de Tadeusz Banachiewicz. Astfel de sisteme pot fi scrise în notația matricială ca Ax = b unde x și b sunt vectori coloană, iar calculul lui b necesită înmulțirea liniilor lui A cu vectorul x.
Matematicienii din Cracovia au introdus ideea de a folosi în loc de A transpusa lui A, AT, și de a înmulți coloanele lui AT cu coloana x. Aceasta înseamnă definirea unui nou tip de înmulțire a matricilor, notat aici cu „∧”. Astfel x ∧ AT = b = Ax. Produsul cracovian a două matrici, A și B, este definit de A ∧ B = B TA, unde BT și A sunt considerate compatibile pentru operația standard de înmulțire a matricilor (de tip Cayley).
Deoarece (AB)T = BTAT, produsele (A ∧ B) ∧ C și A ∧ (B ∧ C) în general vor fi diferite; astfel că înmulțirea cracoviană nu este asociativă. Produsele cracoviene sunt un exemplu de cvasigrup(d).
Cei din Cracovia au adoptat o convenție în care ordinea indicilor notației indexate a elementelor erau în ordinea coloană-linie, spre deosebire de convenția standard linie-coloană din analiza matricială. Acest lucru a făcut înmulțirea manuală mai ușoară, deoarece trebuia să se urmărească două coloane paralele (în loc de o coloană verticală și o linie orizontală în notația standard). De asemenea, a accelerat calculele computerizate, deoarece elementele ambilor factori erau accesate în aceeași ordine, ceea ce era mai convenabil pentru memoriile cu acces secvențial(d) din computerele acelor vremuri — în principal pe benzi magnetice(d) sau tamburi magnetici. Utilizarea produsului cracovian în astronomie a dispărut pe măsură ce calculatoarele cu memorie cu acces aleatoriu mai mare au intrat în uzul general. Actual, orice referire modernă la produsul cracovian este în legătură cu înmulțirea neasociativă.
În programare modificare
În R operația de produs cracovian se obține cu funcția crossprod(). De exemplu, produsul cracovian al matricilor A și B se obține cu instrucțiunea crossprod(B, A).
Bibliografie modificare
- en Banachiewicz, T. (1955). Vistas in Astronomy, vol. 1, issue 1, pp 200–206.
- en Herget, Paul; (1948, reprinted 1962). The computation of orbits, University of Cincinnati Observatory (privately published). Asteroid 1751 is named after the author.
- en Kocinski, J. (2004). Cracovian Algebra, Nova Science Publishers.
