Spațiu Minkowski

Spațiul Minkowski (sau spațiul-timp Minkowski), numit după Hermann Minkowski, este spațiu în patru dimensiuni, contextul matematic în care se formulează cel mai convenabil teoria relativității restrânse. În jurul anului 1907, Minkowski a identificat că lucrările lui Hendrik Antoon Lorentz (1904) și Albert Einstein (1905) privind teoria relativității pot fi înțelese într-un spațiu non-euclidian. În acest context, cele trei dimensiuni obișnuite ale spațiului sunt combinate cu o a patra dimensiune a timpului pentru a forma o varietate tetradimensională pentru a reprezenta spațiul-timp.

În fizica teoretică, spațiul Minkowski este adesea comparat cu un spațiu euclidian. În timp ce spațiul euclidian are doar dimensiuni spațiale, un spațiu Minkowski are și o dimensiune temporală. Astfel grupul simetric al unui spațiu euclidian este grupul euclidian iar pentru un spațiu Minkowski este grupul Poincaré.

Structură

Formal, spațiul Minkowski este un spațiu vectorial real echipat cu o formă biliniară nedegenerată simetrică cu signatură metrică (−,+,+,+) (Uneori se preferă și signatura (+,−,−,−)). Cu alte cuvinte, spațiul Minkowski este un spațiu pseudoeuclidian cu n = 4 și n−k = 1 (într-o definiție mai largă este permis orice n>1). Elementele spațiului Minkowski se numesc evenimente sau tetravectori. Spațiul Minkowski se notează adesea cu R^1,3 pentru a evidenția signatura, deși se notează și cu M⁴ sau doar cu M. Este poate cel mai simplu exemplu de varietate pseudoriemanniană.

Produsul scalar Minkowski

Acest produs scalar este similar cu produsul scalar euclidian, dar este folosit pentru a descrie o altă geometrie; geometria este de regulă asociată cu teoria relativității. Fie M un spațiu vectorial real tetradimensional. Produsul scalar Minkowski este o aplicație η: M × M → R (adică dați fiind doi vectori v, w din M definim η(v,w) ca un număr real) care satisface proprietățile (1), (2), (3) de mai jos, ca și proprietatea (4):

1.	biliniar	η(au + v, w) = aη(u, w) + η(v, w) oricare ar fi a ∈ R și u, v, w din M.
2	simetric	η(v,w) = η(w,v) oricare ar fi v,w din M.
3.	nedegenerat	dacă η(v,w) = 0 oricare ar fi w ∈ M atunci v = 0.

Se observă că acesta nu este un produs scalar în sens obișnuit, deoarece nu este pozitiv-definit, adică norma Minkowski a unui vector v, definită ca v² = η(v,v), nu este neapărat pozitivă. Condiția de pozitiv-definire a fost înlocuită de o condiție mai slabă de nedegenerare (orice formă pozitiv-definită este nedegenerată dar nu și invers). Produsul scalar este astfel indefinit.

Ca și într-un spațiu euclidian, doi vectori v și w sunt considerați ortogonali dacă η(v, w) = 0. Dar există o deplasare de paradigmă în spațiul Minkowski care include evenimente hiperbolic-ortogonale în cazul în care v și w generează un plan în care η ia valori negative. Această deplasare spre o nouă paradigmă este clarificată prin compararea structurii euclidiene a planului complex cu structura planului numerelor complexe hiperbolice.

Un vector v se numește versor dacă v² = ±1. O bază pentru M constând din vectori unitari ortogonali doi câte doi se numește bază ortonormală.

Există o teoremă care afirmă că orice spațiu prehilbertian care satisface condițiile de la 1 la 3 de mai sus are întotdeauna o bază ortonormală. Mai mult, teorema afirmă că numărul de vectori unitari pozitivi și negativi din orice astfel de bază este fix.

A patra condiție asupra lui $\eta$ poate fi enunțată astfel:

4.

signatura

Forma biliniară η are signatura (-,+,+,+)

Vezi și

• Hiperspațiu (ficțiune)

Literatură

• Francesco Catoni: The mathematics of Minkowski space-time. Birkhäuser, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8613-9.
• John W. Schutz: Independent axioms for Minkowski space-time. Longman, Harlow 1997, ISBN 0-582-31760-6.