Teorema Jacobson-Bourbaki

În algebră teorema Jacobson–Bourbaki este utilizată pentru a extinde teoria lui Galois a extinderilor de domeniu care nu trebuie să fie separate. Aceasta a fost introdusă de Nathan Jacobson în 1944 pentru câmpurile comutative și extinsă la domenii necomutative de Jacobson și Cartan în 1947, care au popularizat rezultatul muncii nepublicate a lui Nicolas Bourbaki. Extinderea teoriei lui Galois la extinderile normale se numește corespondența Jacobson–Bourbaki, care înlocuiește corespondența dintre unele subdomenii ale unui domeniu și a unor subgrupuri ale unui grup Galois de o corespondență între niște inele cu diviziune sau un inel cu diviziune și unele subalgebre ale unei algebre.

Teorema Jacobson–Bourbaki implică atât corespondența obișnuită Galois pentru subdomenii a unei extinderi Galois, cât și corespondența Galois pentru subdomenii a unei extinderi pur inseparabile, de exponent cel mult 1 a lui Jacobson.

Afirmație

Se presupune că L este un inel cu diviziune. Teorema Jacobson–Bourbaki afirmă că există o corespondență naturală de 1 : 1 între:

•  Inele cu diviziune K în L de indice finit n (cu alte cuvinte, L este un spațiu vectorial stânga finit n-dimensional peste K)
• Unital K - algebre de dimensiune finită n (ca spații K - vectoriale) conținute în inelul de endomorfism ale grupului aditiv K.

Subinelul cu diviziune și subalgebra corespunzătoare sunt comutante reciproc.

Jacobson (1956, Chapter 7.2) a dat o extindere pentru inelele subdiviziune care ar putea avea indicele infinit, care corespund subalgebrelor închise în topologia finită.

Bibliografie

• Cartan, Henri (1947), "Les principaux théorèmes de la théorie de Galois pour les corps non nécessairement commutatifs", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences 224: 249–251, MR 0020983 
• Cartan, Henri (1947), "Théorie de Galois pour les corps non commutatifs", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 64: 59–77, ISSN 0012-9593, MR 0023237 
• Jacobson, Nathan (1944), "Galois theory of purely inseparable fields of exponent one", American Journal of Mathematics 66: 645–648, doi:10.2307/2371772, ISSN 0002-9327, MR R0011079 
• Jacobson, Nathan (1947), "A note on division rings", American Journal of Mathematics 69: 27–36, doi:10.2307/2371651, ISSN 0002-9327, MR 0020981 
• Jacobson, Nathan (1956), Structure of rings, American Mathematical Society, Colloquium Publications 37, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1037-8, MR 0081264 
• Jacobson, Nathan (1964), Lectures in abstract algebra. Vol III: Theory of fields and Galois theory, D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, N.J.-Toronto, Ont.-London-New York, ISBN 978-0-387-90168-8, MR 0172871 
• Kreimer, F. (2001), "Jacobson-Bourbaki_theorem", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4