În geometrie , Teorema lui Stewart furnizează o relație între lungimile laturilor unui triunghi și lungimea segmentului ceviană dintr-un vârf la un punct de pe latura opusă.
Fie a , b și c laturile unui triunghi. Fie p un segment din punctul A în punctul P de pe latura a care divide această latură în segmentele x and y . Atunci:
a
(
p
2
+
x
y
)
=
b
2
x
+
c
2
y
.
{\displaystyle a(p^{2}+xy)=b^{2}x+c^{2}y.\,}
Reprezentare grafică
Fie P punctul în care latura a și segmentul p se intersectează.
Prin aplicarea teoremei cosinusului pentru unghiurile suplementare APB și APC se obțin egalitățile :
b
2
=
p
2
+
y
2
−
2
p
y
cos
θ
{\displaystyle b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos {\theta }\,}
c
2
=
p
2
+
x
2
+
2
p
x
cos
θ
{\displaystyle c^{2}=p^{2}+x^{2}+2px\cos {\theta }\,}
Înmulțind prima relație cu x , iar a doua cu y rezultă:
x
b
2
=
x
p
2
+
x
y
2
−
2
p
x
y
cos
θ
{\displaystyle xb^{2}=xp^{2}+xy^{2}-2pxy\cos {\theta }\,}
y
c
2
=
y
p
2
+
y
x
2
+
2
p
x
y
cos
θ
{\displaystyle yc^{2}=yp^{2}+yx^{2}+2pxy\cos {\theta }\,}
Apoi adunând cele două ecuații:
x
b
2
+
y
c
2
=
(
x
+
y
)
p
2
+
x
y
(
x
+
y
)
,
{\displaystyle xb^{2}+yc^{2}=(x+y)p^{2}+xy(x+y),\,}
se obține teorema lui Stewart.
Dacă M este un punct pe latura BC a triunghiului ABC , atunci:
A
M
→
2
⋅
B
C
→
+
A
B
→
2
⋅
C
M
→
+
B
C
→
⋅
C
M
→
⋅
M
B
→
=
0
{\displaystyle {\overrightarrow {AM}}^{2}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {AB}}^{2}\cdot {\overrightarrow {CM}}+{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {CM}}\cdot {\overrightarrow {MB}}=0}
sau altă formă:
M
A
2
=
M
C
→
B
C
→
⋅
A
B
2
+
M
B
→
C
B
→
⋅
A
C
2
+
M
B
→
⋅
M
C
→
.
{\displaystyle MA^{2}={\frac {\overrightarrow {MC}}{\overrightarrow {BC}}}\cdot AB^{2}+{\frac {\overrightarrow {MB}}{\overrightarrow {CB}}}\cdot AC^{2}+{\overrightarrow {MB}}\cdot {\overrightarrow {MC}}.}
O altă formă simetrică este următoarea:
Dacă punctele A , B , C sunt coliniare, iar P un punct oarecare, atunci:
P
A
2
A
B
→
⋅
A
C
→
+
P
B
2
B
A
→
⋅
B
C
→
+
P
C
2
C
A
→
⋅
C
B
→
=
1.
{\displaystyle {\frac {PA^{2}}{{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}}+{\frac {PB^{2}}{{\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}}}+{\frac {PC^{2}}{{\overrightarrow {CA}}\cdot {\overrightarrow {CB}}}}=1.}
