Calcul variațional
Calculul variațional este un capitol al analizei matematice care are ca obiect studiul problemelor de determinare a extremelor unei funcționale.
Printre problemele care au generat apariția calculului variațional se numără problema izoperimetrelor și problema brahistocronei (Jean Bernoulli, 1696).
Denumirea și fundamentarea calculului variațional i se datorează lui Euler (1744). Lagrange (1760) a introdus noțiunea de variație și a dat o metodă de determinare a extremelor unei funcționale.
Calculul variațional are aplicații în mecanica sistemelor, hidrodinamică, teoria elasticității, optică geometrică.
Istoric
modificareDin punct de vedere istoric, prima problema de calcul variațional este așa numita problemă a lui Dido. Conform legendei, Didona, al cărui soț fusese asasinat, este nevoită să fugă cu averea acestuia. Debarcând pe țărmul african, localnicii îi oferă suprafața pe care poate să o cuprindă cu o piele de taur. Didona taie pielea în fâșii înguste pe care le leagă cap la cap și înconjoară cu ele o bucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, căreia îi devine regină.
Încă din antichitate, latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firul alcătuit din fâșiile înguste pentru ca el să înconjoare o porțiune de arie maximă?
Formulare matematică
modificareProblema are mai multe variante. Una din acestea ar fi următoarea: să presupunem că axa x'Ox reprezintă țărmul mării și că punctele reprezintă capetele firului, graficul funcției definită și derivabilă pe [a, b], este firul. Aria limitată de fir și țărm este:
în timp de lungimea firului este:
Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcției definite și derivabile pe [a, b], care satisface condițiile:
astfel încât integrala:
să aibă valoarea maximă.
Din motive evidente, o asemenea problemă se numește problemă izoperimetrică. Încă din antichitate se cunoștea că formă căutată a firului este cea a unui arc de cerc, ceea ce se poate demonstra.
Se poate raționa și altfel. Fie arcul graficului. În relația:
se consideră pe x, y ca funcții de absisa curbilinie s și integrăm prin părți:
Problema revine la a determina funcția definită pe intervalul cu proprietatea că și că integrala:
are valoare minimă.
O altă variantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cu ecuațiile parametrice:
funcțiile fiind deci derivabile pe porțiuni pe Atunci lungimea firului este:
iar aria limitată de fir este:
Problema revine deci la determinarea celor două funcții definite și derivabile pe porțiuni pe intervalul astfel încât să aibă relația:
și ca integrala:
să fie maximă. Și aceasta este tot o problemă izoperimetrică și curba care dă soluția este un cerc.