Derivarea funcțiilor compuse

În calculul diferențial derivarea funcțiilor compuse este o formulă folosită pentru a găsi derivatele unei funcții compuse^⁠(d) de două funcții derivabile, $f$ și $g.$ în funcție de derivatele lui $f$ și $g.$ Mai exact, dacă $h=f\circ g$ este o funcție astfel încât $h(x)=f(g(x))$ pentru orice $x$ , atunci regula derivării lui $h$ este, în notația lui Lagrange:

h'(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)

sau, echivalent,

h^{\prime }=(f\circ g)^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)\cdot g^{\prime }

Regula poate fi exprimată și în notația lui Leibniz. Dacă o variabilă $z$ depinde de variabila $y$ , care ea însăși depinde de variabila $x$ (adică $y$ și $z$ sunt variabile dependente^⁠(d)), atunci $z$ depinde și de $x$ prin variabila intermediară $y$ . În acest caz, regula se exprimă ca

{\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}

și

\left.{\frac {dz}{dx}}\right|_{x}=\left.{\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x}

pentru a indica în ce puncte trebuie evaluate derivatele.

La integrare, omoloaga regulii este schimbarea de variabilă.

Explicație intuitivă

Intuitiv, regula de derivare a funcțiilor compuse afirmă că variația instantanee a lui $z$ în funcție de $y$ și cea a lui $y$ în funcție de $x$ permite calcularea variației lui $z$ în funcție de $x$ ca produs al celor două variații.

După cum a spus George F. Simmons: „Dacă o mașină se deplasează de două ori mai repede decât o bicicletă și bicicleta este de patru ori mai rapidă decât un om care merge, atunci mașina se deplasează de $2 \times 4 = 8$ ori mai repede decât omul”.^[1]

Relația dintre acest exemplu și regula de derivare a funcțiilor compuse este următoarea. Fie $z$ , $y$ și $x$ pozițiile (variabile) mașinii, bicicletei, respectiv a omului care merge. Raportul vitezelor mașinii și bicicletei este ${\textstyle {\frac {dz}{dy}}=2.}$ Similar, ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=4.}$ Deci, raportul vitezelor mașinii și ale omului care merge este

{\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=2\cdot 4=8

Rata de schimbare a pozițiilor este raportul dintre viteze, iar viteza este derivata poziției în funcție de timp, adică

{\frac {dz}{dx}}={\frac {\frac {dz}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}

sau, echivalent,

{\frac {dz}{dt}}={\frac {dz}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}

care este și o aplicare a regulii de derivare.

Istoric

Regula derivării funcțiilor compuse pare să fi fost folosită pentru prima dată de Gottfried Wilhelm Leibniz. A folosit-o pentru a calcula derivata lui ${\sqrt {a+bz+cz^{2}}}$ ca un compus al funcției rădăcină pătrată și al funcției $a+bz+cz^{2}.$ El a menționat-o pentru prima dată într-un memoriu din 1676 (cu o eroare de semn în calcul).^[2] Notația comună a acestei reguli se datorează lui Leibniz.^[3] Guillaume de l'Hôpital a folosit regula de derivare în mod implicit în Analyse des infiniment petits. Regula derivării funcțiilor compuse nu apare în niciuna dintre cărțile de analiză ale lui Leonhard Euler, deși au fost scrise la peste o sută de ani după descoperirea lui Leibniz. Se crede că prima versiune „modernă” a regulii apare în Théorie des fonctions analytiques a lui Lagrange, din 1797. Apare și în Résumé des Leçons données a L’École Royale Polytechnique sur Le Calcul Infinitesimal al lui Cauchy, din 1823.^[3]

Formulare

Cea mai simplă formă a regulii derivării funcțiilor compuse apare la funcțiile reale de variabilă reală. Se afirmă că dacă $g$ este o funcție care este derivabilă într-un punct $c$ (adică derivata $g'(c)$ există) și $f$ este o funcție derivabilă în $g (c)$ , atunci funcția compusă $f\circ g$ este derivabilă în $c$ , iar derivata este^[4]

(f\circ g)^{\prime }(c)=f'(g(c))\cdot g^{\prime }(c)

Regula este uneori prescurtată ca

(f\circ g)^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)\cdot g^{\prime }

Dacă $y = f (u)$ și $u = g (x)$ , atunci această formă prescurtată este scrisă în notația lui Leibniz ca:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}

De asemenea, punctele în care sunt evaluate derivatele pot fi precizate explicit:

\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=c}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(c)}\cdot \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=c}

În continuare, prin același raționament, fiind date $n$ și funcțiile $f_{1},\ldots ,f_{n}$ cu funcția compusă $f_{1}\circ (f_{2}\circ \cdots (f_{n-1}\circ f_{n}))$ , dacă fiecare funcție $f_{i}$ este derivabilă în punctul argumentului său imediat, atunci funcția compusă este și ea derivabilă prin aplicarea repetată a regulii derivării funcțiilor compuse, unde derivata este (în notația lui Leibniz):

{\frac {df_{1}}{dx}}={\frac {df_{1}}{df_{2}}}{\frac {df_{2}}{df_{3}}}\cdots {\frac {df_{n}}{dx}}

Aplicații

Derivarea unei funcții compuse de mai mult de două funcții

Regula derivării funcțiilor compuse poate fi aplicată compunerilor de mai mult de două funcții. Pentru a afla derivata unei compuse de mai mult de două funcții, se observă că compunerea lui $f,$ $g$ și $h$ (în această ordine) este compusa lui $f$ cu $g \circ h$ . Regula compunerii spune că pentru a calcula derivata lui $f \circ g \circ h$ , este suficientă calcularea derivatei lui $f$ și a derivatei lui $g \circ h$ . Derivata lui $f$ poate fi calculată direct, iar derivata lui $g \circ h$ poate fi calculată prin aplicarea din nou a regulii.

Concret, fie funcția

y=e^{\sin(x^{2})}

Aceasta poate fi descompusă ca un compus de trei funcții:

{\begin{aligned}y&=f(u)=e^{u}\\u&=g(v)=\sin v\\v&=h(x)=x^{2}\end{aligned}}

adică $y=f(g(h(x)))$

Derivatele lor sunt:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u}\\{\frac {du}{dv}}&=g'(v)=\cos v\\{\frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x\end{aligned}}

Regula derivării unei funcții compuse spune că derivata compusei în punctul $x = a$ este:

{\begin{aligned}(f\circ g\circ h)^{\prime }(a)&=f^{\prime }((g\circ h)(a))\cdot (g\circ h)^{\prime }(a)\\&=f^{\prime }((g\circ h)(a))\cdot g^{\prime }(h(a))\cdot h^{\prime }(a)\\&=(f^{\prime }\circ g\circ h)(a)\cdot (g^{\prime }\circ h)(a)\cdot h^{\prime }(a)\end{aligned}}

În notația lui Leibniz, aceasta este:

{\frac {dy}{dx}}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(h(a))}\cdot \left.{\frac {du}{dv}}\right|_{v=h(a)}\cdot \left.{\frac {dv}{dx}}\right|_{x=a}

sau, pe scurt,

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}

Derivata funcției este deci:

{\frac {dy}{dx}}=e^{\sin(x^{2})}\cdot \cos(x^{2})\cdot 2x

Un alt mod de a calcula această derivată este de a vedea funcția compusă $f \circ g \circ h$ ca fiind compusa dintre $f \circ g$ și $h$ . Aplicând regula pentru derivarea funcțiilor compuse în acest mod ar rezulta:

{\begin{aligned}(f\circ g\circ h)^{\prime }(a)&=(f\circ g)^{\prime }(h(a))\cdot h'(a)\\&=f^{\prime }(g(h(a)))\cdot g^{\prime }(h(a))\cdot h^{\prime }(a)\end{aligned}}

Aceasta este aceeași cu cea calculată mai sus. Acest lucru este de așteptat deoarece $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ .

Uneori, este necesar să se deriveze o compunere arbitrar de lungă de forma $f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n-1}\circ f_{n}\!$ . În acest caz se definește

f_{a\,.\,.\,b}=f_{a}\circ f_{a+1}\circ \cdots \circ f_{b-1}\circ f_{b}

unde $f_{a\,.\,.\,a}=f_{a}$ și $f_{a\,.\,.\,b}(x)=x$ când $b<a$ . Atunci regula derivării ia forma

{\begin{aligned}Df_{1\,.\,.\,n}&=(Df_{1}\circ f_{2\,.\,.\,n})(Df_{2}\circ f_{3\,.\,.\,n})\cdots (Df_{n-1}\circ f_{n\,.\,.\,n})Df_{n}\\&=\prod _{k=1}^{n}\left[Df_{k}\circ f_{(k+1)\,.\,.\,n}\right]\end{aligned}}

sau, în notația lui Lagrange,

{\begin{aligned}f_{1\,.\,.\,n}^{\prime }(x)&=f_{1}^{\prime }\left(f_{2\,.\,.\,n}(x)\right)\;f_{2}^{\prime }\left(f_{3\,.\,.\,n}(x)\right)\cdots f_{n-1}^{\prime }\left(f_{n\,.\,.\,n}(x)\right)\;f_{n}^{\prime }(x)\\[1ex]&=\prod _{k=1}^{n}f_{k}^{\prime }\left(f_{(k+1\,.\,.\,n)}(x)\right)\end{aligned}}

Derivarea unui raport

Regula pentru derivarea funcțiilor compuse poate fi utilizată pentru a deduce unele reguli de derivare binecunoscute. De exemplu, regula de derivare a raportului este o consecință a regulii de derivare a funcțiilor compuse și a regulii de derivare a unui produs. Pentru asta, se scrie funcția $f (x)/ g (x)$ ca produsul $f (x) • 1/ g (x)$ . Mai întâi se aplică regula derivării produsului:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&={\frac {d}{dx}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)\\&=f^{\prime }(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right)\end{aligned}}

Pentru a calcula derivata lui $1/ g (x)$ , se observă că expresia este compusa lui $g$ cu funcția inversă, adică cu funcția care trimite $x$ la $1/ x$ . Derivata funcției inverse este $-1/x^{2}$ . Prin aplicarea regulii de derivare a funcțiilor compuse, ultima expresie devine:

f^{\prime }(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g^{\prime }(x)\right)={\frac {f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x)^{2}}}

care este formula uzuală pentru regula derivării unui raport.

Derivarea funcțiilor inverse

Fie $y = g (x)$ a cărei funcție inversă este $f,$ astfel că $x = f (y)$ . Există o formulă pentru derivata lui $f$ în funcție de derivata lui $g$ . Pentru a arăta acest lucru, se observă că $f$ și $g$ satisfac relația

f(g(x))=x

Și pentru că funcțiile $f(g(x))$ și $x$ sunt egale, derivatele lor trebuie să fie egale. Derivata lui $x$ este funcția constantă cu valoarea 1, iar derivata lui $f(g(x))$ este determinată de regula pentru derivarea funcțiilor compuse. Prin urmare:

f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=1

Pentru a exprima $f'$ ca o funcție de variabila independentă $y$ , se înlocuiește peste tot $f(y)$ cu $x.$ Atunci se poate găsi soluția pentru $f'.$

{\begin{aligned}f^{\prime }(g(f(y)))g^{\prime }(f(y))&=1\\f'(y)g^{\prime }(f(y))&=1\\f^{\prime }(y)={\frac {1}{g^{\prime }(f(y))}}\end{aligned}}

De exemplu, fie funcția $g (x) = e x$ . Are inversa $f (y) = ln y$ . Deoarece $g'(x) = e x$ , formula de mai sus spune că

{\frac {d}{dy}}\ln y={\frac {1}{e^{\ln y}}}={\frac {1}{y}}

Această formulă este adevărată ori de câte ori $g$ este derivabilă și inversa sa, $f,$ este și ea derivabilă. Această formulă poate eșua atunci când una dintre aceste condiții nu este adevărată. De exemplu, fie $g (x) = x 3$ . Inversa sa este $f (y) = y 1/3,$ care nu este derivabilă în zero. Dacă se încearcă să se folosească formula de mai sus pentru a calcula derivata lui $f$ în zero, trebuie evaluată $1/ g'(f (0))$ . Deoarece $f (0) = 0$ și $g'(0) = 0$ , trebuie evaluată expresia 1/0, care este nedefinită. Prin urmare, formula eșuează în acest caz. Acest lucru nu este surprinzător deoarece $f$ nu este derivabilă în zero.

Propagarea înapoi

Regula pentru derivarea funcțiilor compuse formează baza algoritmului backpropagation, care este utilizat în scăderea gradientului^⁠(d) la rețelele neurale în învățarea profundă (inteligență artificială).^[5]

Derivate superioare

Formula lui Faà di Bruno^⁠(d) generalizează regula pentru derivarea funcțiilor compuse pentru derivatele superioare. Fie $y = f (u)$ și $u = g (x)$ , atunci primele câteva derivate sunt:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}\\{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d^{2}y}{du^{2}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\\{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}&={\frac {d^{3}y}{du^{3}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{3}+3\,{\frac {d^{2}y}{du^{2}}}{\frac {du}{dx}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}\\{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}&={\frac {d^{4}y}{du^{4}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{4}+6\,{\frac {d^{3}y}{du^{3}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{du^{2}}}\left(4\,{\frac {du}{dx}}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+3\,\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)^{2}\right)+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{4}u}{dx^{4}}}\end{aligned}}

Demonstrații

Prima demonstrație

O demonstrație a regulii derivării funcțiilor compuse începe prin definirea derivatei funcției compuse $f \circ g$ , unde se ia limita lui $f \circ g$ când $x$ tinde la $a$ :

(f\circ g)^{\prime }(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a}}.

Se presupune pentru moment că $g(x)$ nu este egală cu $g(a)$ pentru niciun $x$ lîngă $a$ . Atunci expresia anterioară este egală cu produsul a doi factori:

\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}

Dacă $g$ variază lângă $a$ , atunci s-ar putea întâmpla ca, indiferent cât de aproape s-ar ajunge de $a$ , să existe întotdeauna un $x$ și mai aproape, astfel încât $g (x) = g (a).$ De exemplu, acest lucru se poate întâmpla lângă $a = 0$ pentru funcția continuă $g$ definită de $g (x) = 0$ pentru $x = 0$ și $g (x) = x 2 sin(1/ x)$ altfel. Ori de câte ori se întâmplă acest lucru, expresia de mai sus este nedefinită deoarece implică împărțirea cu zero. Pentru a rezolva acest lucru, se introduce o funcție $Q$ după cum urmează:

Q(y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a)}},&y\neq g(a),\\f^{\prime }(g(a)),&y=g(a).\end{cases}}

Se va arăta că raportul ${\textstyle \phi ={\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a}}}$ este întotdeauna egal cu:

Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}

Ori de câte ori $g (x)$ nu este egal cu $g (a)$ , acest lucru este clar deoarece factorii lui $g (x) - g (a)$ se anulează. Când $g (x)$ este egal cu $g (a)$ , atunci $\phi =0$ deoarece $f (g (x)) = f (g (a)),$ iar produsul de mai sus este zero deoarece este egal cu $f'(g (a))$ înmulțit cu zero. Deci produsul de mai sus este întotdeauna egal cu $\phi$ și pentru a arăta că derivata lui $f \circ g$ în $a$ există și pentru a-i determina valoarea, trebuie doar să se arate că limita produsului de mai sus când $x$ tinde la $a$ există și să se determine valoarea ei.

Pentru asta, se reamintește că limita unui produs există dacă există limitele factorilor săi, iar limita produsului va fi egală cu produsul limitelor factorilor. Cei doi factori sunt $Q (g (x))$ și $(g (x) - g (a)) / (x - a)$ . Deoarece $g$ este derivabilă în $a$ prin presupunere, limita sa când $x$ tinde la $a$ există și este egală cu $g'(a)$ .

În ceea ce privește $Q (g (x))$ , se observă că $Q$ este definită oriunde este definită $f$ . În plus, $f$ este derivabilă în $g (a)$ prin presupunere, deci $Q$ este continuă în $g (a)$ , prin definiția derivatei. Funcția $g$ este continuă în $a$ deoarece este derivabilă în $a$ și, prin urmare, $Q \circ g$ este continuă în $a$ . Deci limita sa când $x$ tinde la $a$ există și este egală cu $Q (g (a))$ , care este $f' (g (a))$ .

Aceasta arată că limitele ambilor factori există și că ele sunt egale cu $f'(g (a))$ și, respectiv, $g'(a)$ . Prin urmare, derivata lui $f \circ g$ în $a$ există și este egală cu $f'(g (a))$ $g'(a)$ .

A doua demonstrație

O altă modalitate de a demonstra regula pentru derivarea funcțiilor compuse este măsurarea erorii în aproximarea liniară determinată de derivată. Această demonstrație are avantajul că se poate generaliza la mai multe variabile. Se bazează pe următoarea definiție echivalentă a derivabilității într-un punct: o funcție $g$ este derivabilă în $a$ dacă există un număr real $g (a)$ și o funcție $ε (h)$ care tinde la zero când $h$ tinde la zero și, în plus,

g(a+h)-g(a)=g^{\prime }(a)h+\varepsilon (h)h

Aici membrul stâng reprezintă diferența adevărată dintre valorile lui $g$ în $a + h$ și în $a$ , în timp ce membrul drept reprezintă aproximarea determinată de derivată plus un termen de eroare.

În situația regulii de derivare a funcțiilor compuse, o astfel de funcție $ε$ există deoarece $g$ se presupune că este derivabilă la $a$ . Din nou, prin presupunere, o funcție similară există și pentru $f$ în $g (a)$ . Numind această funcție $η$ , avem

f(g(a)+k)-f(g(a))=f^{\prime }(g(a))k+\eta (k)k

Definiția de mai sus nu impune constrângeri pentru $η (0),$ chiar dacă se presupune că $η (k)$ tinde la zero când $k$ tinde la zero. Dacă se pune $η (0) = 0,$ atunci $η$ este continuă în 0.

Demonstrarea teoremei necesită studierea diferenței $f (g (a + h))) - f (g (a))$ când $h$ tinde la zero. Primul pas este înlocuirea lui $g (a + h)$ folosind definiția derivării lui $g$ în $a$ :

f(g(a+h))-f(g(a))=f(g(a)+g^{\prime }(a)h+\varepsilon (h)h)-f(g(a))

Următorul pas este folosirea definiției derivabilității lui $f$ în $g (a).$ Acest lucru necesită un termen de forma $f (g (a) + k)$ pentru unele $k$ . În ecuația de mai sus, $k$ -ul corect variază cu $h$ . Se pune $k h = g' (a) h + ε (h) h$ și partea dreaptă devine $f (g (a) + k h) - f (g (a)).$ Aplicând definiția derivatei rezultă:

f(g(a)+k_{h})-f(g(a))=f^{\prime }(g(a))k_{h}+\eta (k_{h})k_{h}

Pentru a studia comportamentul acestei expresii când $h$ tinde la zero, se dezvoltă $k h .$ După regruparea termenilor, membrul drept devine:

f^{\prime }(g(a))g'(a)h+[f^{\prime }(g(a))\varepsilon (h)+\eta (k_{h})g'(a)+\eta (k_{h})\varepsilon (h)]h

Deoarece $ε (h)$ și $η (k h)$ tind la zero când $h$ tinde la zero, primii doi termeni dintre paranteze tind la zero când $h$ tinde la zero. Aplicând aceeași teoremă la produsele limitelor ca în prima demonstrație, al treilea termen dintre paranteze tinde și el la zero. Deoarece expresia de mai sus este egală cu diferența $f (g (a + h)) - f (g (a)),$ prin definiție derivata lui $f \circ g$ este derivabilă în $a,$ iar derivata sa este $f'(g (a)) g'(a).$

În această demonstrație rolul lui $Q$ din prima demonstrație este jucat de $η$ . Ele sunt legate prin ecuația:

Q(y)=f^{\prime }(g(a))+\eta (y-g(a))

Necesitatea de a defini $Q$ în $g (a)$ este analogă cu necesitatea de a defini $η$ în zero.

A treia demonstrație

Definiția alternativă a lui Constantin Carathéodory a derivabilității unei funcții poate fi folosită pentru a da o demonstrație elegantă a regulii de derivare a funcțiilor compuse.^[6]

Conform acestei definiții, o funcție $f$ este derivabilă într-un punct $a$ dacă și numai dacă există o funcție $q,$ continuă la $a$ și astfel încât $f (x) - f (a) = q (x)(x - a).$ Există cel mult o astfel de funcție și dacă $f$ este derivabilă în $a,$ atunci $f'(a) = q (a)$ .

Fiind admise ipotezele regulii de derivare a funcțiilor compuse și faptul că funcțiile derivabile și compusele funcțiilor continue sunt continue, rezultă că există funcția $q$ continuă în $g (a)$ și funcția $r,$ continuă în $a$ , astfel încât

f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))(g(x)-g(a))

și

g(x)-g(a)=r(x)(x-a)

Prin urmare,

f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))r(x)(x-a)

dar funcția $h (x) = q (g (x)) r (x)$ este continuă în $a,$ iar pentru acest $a$ se obține

(f(g(a)))^{\prime }=q(g(a))r(a)=f^{\prime }(g(a))g^{\prime }(a)

O abordare similară funcționează pentru funcțiile (vectoriale) derivabile continuu de mai multe variabile. Această metodă de factorizare permite și o abordare unificată a formelor mai tari de derivabilitate, atunci când derivata este necesară să fie continuă Lipschitz^⁠(d), continuitate Hölder^⁠(d) etc. Derivarea în sine poate fi privită ca teorema restului polinomului^⁠(d), generalizată la o clasă adecvată de funcții.

Demonstrația cu infinitezimale

Dacă $y=f(x)$ și $x=g(t)$ atunci alegând infinitezimala $\Delta t\not =0$ se calculează corespondenta $\Delta x=g(t+\Delta t)-g(t)$ și apoi corespondenta $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ , astfel încât

{\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}

și aplicând partea standard^⁠(d) se obține

{\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{dt}}

care este chiar regula derivării funcțiilor compuse.

Cazul funcțiilor de mai multe variabile

Generalizarea completă a regulii pentru derivarea funcțiilor compuse la funcții de mai multe variabile reale^⁠(d) (cum ar fi $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ ) este mai degrabă o chestiune tehnică. Totuși, este mai simplu de scris pentru cazul funcțiilor de forma

f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x)),

unde $f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$ , și $g_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ pentru orice $i=1,2,\dots ,k.$

Deoarece acest caz apare adesea în studiul funcțiilor de o singură variabilă, merită descris separat.

Cazul funcțiilor scalare cu intrări multiple

Fie $f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$ și $g_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ pentru $i=1,2,\dots ,k.$ Se scrie regula pentru derivarea funcțiilor compuse pentru compunerea funcțiilor

x\mapsto f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x)),

Este nevoie de derivatele parțiale ale lui $f$ în funcție de $k$ . Notațiile uzuale pentru derivate parțiale implică nume pentru argumentele funcției. Deoarece aceste argumente nu sunt denumite în formula de mai sus, este mai simplu și mai clar să se folosească notația D și să se noteze cu

D_{i}f

derivata parțială a lui $f$ în funcție de argumentul său $i$ și cu

D_{i}f(z)

valoarea acestei derivate în $z$ .

Cu această notație, regula pentru derivarea funcțiilor compuse este

{\frac {d}{dx}}f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x))=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}{g_{i}}(x)\right)D_{i}f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x))

Exemplu: operații aritmetice

Dacă funcția $f$ este o adunare, adică dacă

f(u,v)=u+v

atunci ${\textstyle D_{1}f={\frac {\partial f}{\partial u}}=1}$ și ${\textstyle D_{2}f={\frac {\partial f}{\partial v}}=1.}$ Astfel, regula pentru derivarea funcțiilor compuse dă

{\frac {d}{dx}}(g(x)+h(x))=\left({\frac {d}{dx}}g(x)\right)D_{1}f+\left({\frac {d}{dx}}h(x)\right)D_{2}f={\frac {d}{dx}}g(x)+{\frac {d}{dx}}h(x)

La înmulțire

f(u,v)=uv

derivatele parțiale sunt $D_{1}f=v$ și $D_{2}f=u.$ Astfel,

{\frac {d}{dx}}(g(x)h(x))=h(x){\frac {d}{dx}}g(x)+g(x){\frac {d}{dx}}h(x)

Cazul exponențierii

f(u,v)=u^{v}

este ceva mai complicat, cu

D_{1}f=vu^{v-1}

și cu $u^{v}=e^{v\ln u},$

D_{2}f=u^{v}\ln u

Rezultă că

{\frac {d}{dx}}\left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)g(x)^{h(x)-1}{\frac {d}{dx}}g(x)+g(x)^{h(x)}\ln g(x)\,{\frac {d}{dx}}h(x)

Regula generală: Funcții vectoriale cu intrări multiple

Cel mai simplu mod de a scrie regula pentru derivarea funcțiilor compuse în cazul general este de a folosi derivata totală^⁠(d), care este o transformare liniară care tratează toate derivatele direcționale într-o singură formulă. Fie funcțiile derivabile $f : R m \to R k$ și $g : R n \to R m,$ și un punct $a$ din $R n .$ Fie $D a g$ derivata totală a lui $g$ în $a$ și $D g (a) f$ derivata totală a lui $f$ în $g (a).$ Aceste două derivate sunt transformări liniare $R n \to R m$ și $R m \to R k,$ deci pot fi compuse. Regula pentru derivarea funcțiilor compuse la derivatele totale este că derivata totală a lui $f \circ g$ în $a$ este compunerea derivatelor:

D_{\mathbf {a} }(f\circ g)=D_{g(\mathbf {a} )}f\circ D_{\mathbf {a} }g

sau, pe scurt,

D(f\circ g)=Df\circ Dg

Regula pentru derivatele superioare ale funcțiilor compuse poate fi demonstrată folosind o tehnică similară celei de-a doua demonstrații prezentate mai sus.^[7]

Deoarece derivata totală este o transformare liniară, funcțiile care apar în formulă pot fi rescrise ca matrici. Matricea corespunzătoare unei derivate totale este matricea jacobiană^⁠(d), iar compusa a două derivate corespunde produsului dintre matricile lor jacobiene. Din această perspectivă, regula pentru derivarea funcțiilor compuse este:

J_{f\circ g}(\mathbf {a} )=J_{f}(g(\mathbf {a} ))J_{g}(\mathbf {a} )

sau, pe scurt, $J_{f\circ g}=(J_{f}\circ g)J_{g}$

Adică, jacobianul unei funcții compuse este produsul jacobienilor funcțiilor compuse (evaluate în punctele corespunzătoare).

Regula pentru derivatele superioare ale funcțiilor compuse este o generalizare a regulii pentru derivarea funcțiilor compuse unidimensionale. Dacă $k$ , $m$ și $n$ sunt 1, astfel încât $f : R \to R$ și $g : R \to R,$ atunci matricile jacobiene ale lui $f$ și $g$ sunt $1 \times 1.$ Mai exact, acestea sunt:

{\begin{aligned}J_{g}(a)&={\begin{pmatrix}g'(a)\end{pmatrix}}\\J_{f}(g(a))&={\begin{pmatrix}f'(g(a))\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Jacobianul lui $f \circ g$ este produsul acestor matrici $1 \times 1$ , adică $f'(g (a))\cdot g'(a),$ așa cum era de așteptat din regula unidimensională pentru derivarea funcțiilor compuse. În limbajul transformărilor liniare, $D a (g)$ este funcția care scalează un vector cu un factor de $g'(a),$ iar $D g (a) (f)$ este funcția care scalează un vector cu un factor de $f'(g (a)).$ Regula pentru derivarea funcțiilor compuse spune că compunerea acestor două transformări liniare este tot o transformarea liniară $D a (f \circ g),$ prin urmare este funcția care scalează un vector cu $f'(g (a))\cdot g'(a).$

Un alt mod de scriere a regulii pentru derivarea funcțiilor compuse este folosit atunci când $f$ și $g$ sunt exprimate în funcție de componentelor lor ca $y = f (u) = (f 1 (u), \dots, f k (u))$ și $u = g (x) = (g 1 (x), \dots, g m (x)).$ În acest caz, regula de mai sus pentru matricile jacobiene este de obicei scrisă ca:

{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}}{\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}

Regula pentru derivatele totale ale funcțiilor compuse implică o regulă pentru derivate parțiale ale funcțiilor compuse. Se reamintește că atunci când derivata totală există, derivata parțială în direcția coordonatei $i$ se găsește prin înmulțirea matricei jacobiene cu al $i$ -lea vector al bazei. Făcând acest lucru cu formula de mai sus, se obține:

{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}}{\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}{\partial x_{i}}}

Deoarece intrările matricei jacobiene sunt derivate parțiale, se poate simplifica formula de mai sus pentru a obține:

{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial x_{i}}}=\sum _{\ell =1}^{m}{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{i}}}

Mai conceptual, această regulă exprimă faptul că o schimbare a direcției lui $x i$ poate schimba toate $g 1$ până la $g m$ , și oricare dintre aceste schimbări poate afecta $f.$

În cazul particular în care $k = 1,$ astfel încât $f$ este o funcție reală, atunci această formulă se simplifică și mai mult:

{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=\sum _{\ell =1}^{m}{\frac {\partial y}{\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{i}}}

Acesta poate fi rescris ca un produs scalar. Reamintind că $u = (g 1, \dots, g m),$ derivata parțială $\partial u / \partial x i$ este tot un vector, iar regula pentru derivarea funcțiilor compuse spune că:

{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=\nabla y\cdot {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{i}}}

Exemplu

Fie $u (x, y) = x 2 + 2 y$ unde $x (r, t) = r sin(t)$ și $y (r, t) = sin 2 (t)$ determină valoare lui $\partial u / \partial r$ și $\partial u / \partial t$ folosind regula pentru derivarea funcțiilor compuse.

{\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=(2x)(\sin(t))+(2)(0)=2r\sin ^{2}(t)

și

{\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial t}}&={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}\\&=(2x)(r\cos(t))+(2)(2\sin(t)\cos(t))\\&=(2r\sin(t))(r\cos(t))+4\sin(t)\cos(t)\\&=2(r^{2}+2)\sin(t)\cos(t)\\&=(r^{2}+2)\sin(2t)\end{aligned}}

Derivate superioare ale funcțiilor de mai multe variabile

Formula lui Faà di Bruno pentru derivatele de ordin superior ale funcțiilor cu o singură variabilă se generalizează la cazul funcțiilor de mai multe variabile. Dacă $y = f (u)$ este o funcție de $u = g (x)$ ca mai sus, atunci derivata de ordinul al doilea a lui $f \circ g$ este:

{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=\sum _{k}\left({\frac {\partial y}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)+\sum _{k,\ell }\left({\frac {\partial ^{2}y}{\partial u_{k}\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{j}}}\right)

Alte generalizări

Toate extensiile din analiza matematică au o regulă pentru derivarea funcțiilor compuse. În cele mai multe dintre acestea formula rămâne aceeași, deși sensul acelei formule poate fi foarte diferit.

O generalizare este la varietăți geometrice. În această situație, regula de derivare a funcțiilor compuse reprezintă faptul că derivata lui $f \circ g$ este compusa dintre derivata lui $f$ și derivata lui $g$ . Această teoremă este o consecință imediată a regulii privind derivatele superioare ale funcțiilor compuse prezentate mai sus și are exact aceeași formulă.

Regula pentru derivarea funcțiilor compuse este valabilă și pentru derivatele Fréchet^⁠(d) din spații Banach. Este valabilă aceeași formulă ca înainte.^[8] Acest caz și cel precedent admit o generalizare simultană la varietățile Banach^⁠(d).

În algebra diferențială^⁠(d) derivata este interpretată ca un morfism de module de diferențiale Kähler^⁠(d). Un homomorfism de inele^⁠(d) comutative $f : R \to S$ determină un morfism al diferențialelor Kähler $Df : Ω R \to Ω S$ care trimite un element $dr$ la $d (f (r))$ , diferențiala exterioară a lui $f (r).$ Formula $D (f \circ g) = Df \circ Dg$ este valabilă și în acest context. Caracteristica comună a acestor exemple este că sunt expresii ale ideii că derivata face parte dintr-un functor. Un functor este o operație asupra spațiilor și funcțiilor dintre ele. Asociază fiecărui spațiu un spațiu nou și fiecărei funcții dintre două spații o nouă funcție între spațiile noi corespunzătoare. În fiecare dintre cazurile de mai sus, functorul trimite fiecare spațiu către fibratul său tangent^⁠(d) și trimite fiecare funcție către derivata sa. De exemplu, în cazul unei varietăți, derivata trimite varietatea $C r$ la varietatea $C r -1$ (fibratul său tangent) și funcția $C r$ la derivata sa totală. Există o cerință pentru ca acesta să fie un functor, și anume că derivata unui compus trebuie să fie compusa derivatelor. Aceasta este tocmai formula $D (f \circ g) = Df \circ Dg$ .

De asemenea, există reguli de derivare a compuselor în calculul stohastic^⁠(d). Una dintre acestea, lema lui Itô^⁠(d), exprimă compusul unui proces Itô (sau mai general o semimartingală^⁠(d)) dX_t cu o funcție $f$ derivabilă de două ori. În lema lui Itô, derivata funcției compuse depinde nu numai de dX_t și de derivata lui $f,$ ci și de derivata de orfinul al doilea a lui $f.$ Dependența de derivata de ordinul al doilea este o consecință a variației pătratice^⁠(d) nenule a procesului stohastic, ceea ce în linii mari înseamnă că procesul se poate deplasa în sus și în jos într-un mod foarte grosier. Această variantă a regulii de derivare a funcțiilor compuse nu este un exemplu de functor deoarece cele două funcții care se compun sunt de tipuri diferite.

Note

^ en George F. Simmons, Calculus with Analytic Geometry (1985), p. 93
^ en Child, J. M. (1917). „The Manuscripts of Leibniz on His Discovery of the Differential Calculus. Part II (Continued)”. The Monist. 27 (3): 411–454. doi:10.5840/monist191727324. ISSN 0026-9662. JSTOR 27900650.
^ ^a ^b en Rodríguez, Omar Hernández; López Fernández, Jorge M. (2010). „A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule”. The Mathematics Enthusiast. 7 (2): 321–332. doi:10.54870/1551-3440.1191  . Accesat în 4 august 2019.
^ en Apostol, Tom (1974). Mathematical analysis (ed. 2nd). Addison Wesley. p. Theorem 5.5.
^ en Goodfellow, Ian; Bengio, Yoshua; Courville, Aaron (2016), Deep learning, MIT , pp=197–217
^ en Kuhn, Stephen (1991). „The Derivative á la Carathéodory”. The American Mathematical Monthly. 98 (1): 40–44. doi:10.2307/2324035. JSTOR 2324035.
^ en Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. Boston: Addison-Wesley. pp. 19–20. ISBN 0-8053-9021-9.
^ en Cheney, Ward (2001). „The Chain Rule and Mean Value Theorems”. Analysis for Applied Mathematics. New York: Springer. pp. 121–125. ISBN 0-387-95279-9.

Vezi și

Legături externe

Portal Matematică

en Eric W. Weisstein, Chain Rule la MathWorld.

[1] George F. Simmons, Calculus with Analytic Geometry (1985), p. 93

[2] Child, J. M. (1917). „The Manuscripts of Leibniz on His Discovery of the Differential Calculus. Part II (Continued)”. The Monist. 27 (3): 411–454. doi:10.5840/monist191727324. ISSN 0026-9662. JSTOR 27900650.

[OHR-3] Rodríguez, Omar Hernández; López Fernández, Jorge M. (2010). „A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule”. The Mathematics Enthusiast. 7 (2): 321–332. doi:10.54870/1551-3440.1191  . Accesat în 4 august 2019.

[4] Apostol, Tom (1974). Mathematical analysis (ed. 2nd). Addison Wesley. p. Theorem 5.5.

[5] Goodfellow, Ian; Bengio, Yoshua; Courville, Aaron (2016), Deep learning, MIT , pp=197–217

[6] Kuhn, Stephen (1991). „The Derivative á la Carathéodory”. The American Mathematical Monthly. 98 (1): 40–44. doi:10.2307/2324035. JSTOR 2324035.

[spivak_manifolds-7] Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. Boston: Addison-Wesley. pp. 19–20. ISBN 0-8053-9021-9.

[8] Cheney, Ward (2001). „The Chain Rule and Mean Value Theorems”. Analysis for Applied Mathematics. New York: Springer. pp. 121–125. ISBN 0-387-95279-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]