Divizibilitate

noțiune din teoria inelelor

În matematică noțiunea de divizor a apărut inițial în contextul aritmeticii numerelor întregi. Odată cu dezvoltarea inelelor, dintre care întregii sunt arhetipul, noțiunea originală de divizor a fost extinsă natural.

Divizibilitatea este un concept util pentru analiza structurii inelelor comutative din cauza relației sale cu structura idealelor unor astfel de inele.

Exemple modificare

În inelul numerelor întregi   fie elementele  .

  •   este un divizor al lui  , deoarece la   cu restul   sau, exprimat diferit și mai potrivit pentru generalizare, există   astfel încât  .
  •   nu este un divizor al lui  , deoarece la   cu restul   nu există nici un   astfel încât  .

În corpul numerelor reale  , o extindere a numerelor întregi, avem

  •   încă este un divizor al lui  , deoarece la   există   astfel încât  .
  •   devine un divizor al lui  , deoarece la  , acesta este acum un număr real în   respectiv există   astfel încât  .

În inelul de polinoame cu coeficienți întregi   avem

  •   este un divizor al lui  , deoarece prin împărțirea polinomială   cu restul   există   astfel încât  .
  •   nu este un divizor al lui  , deoarece la   cu restul   nu există nici un   astfel încât  . De fapt, se poate arăta că   nu are niciun divizor netrivial, ceea ce în acest caz înseamnă că polinomul de gradul al doilea   nu are divizori liniari, cum ar fi  .

În inelul de polinoame cu coeficienți reali  , o extindere a polinoamelor cu coeficienți întregi, avem

  •   încă este un divizor al lui  , deoarece la   există   astfel încât  .
  •   are divizori netriviali, explicit  , deoarece la   există   astfel încât  . De observat că   tot nu este un divizor al lui  , din același motiv ca la   de mai sus.

Aceste exemple ilustrează faptul că noțiunea de divizibilitate nu depinde numai de elementele   și   în sine, ci și de contextul structurii algebrice a unui inel de care aparțin   și operația de înmulțire. În general, divizibilitatea se conservă în extinderi, unde poate fi dobândită mai multă divizibilitate.

Definiție modificare

Fie R un inel (în acest articol, se presupune că inelele au elementul 1) și a și b elemente ale lui R . Dacă există un element x în R cu ax = b, se spune că a este un divizor la stânga al lui b, iar acel b este un multiplu la dreapta al lui a.[1] Similar, dacă există un element y în R cu ya = b, se spune că a este un divizor la dreapta al lui b, iar acel b este un multiplu la stânga lui a. Se spune că a este un divizor al lui b dacă este atât un divizor la stânga, cât și un divizor la dreapta al lui b; variabilele x și y de mai sus nu trebuie să fie egale.

Când R este comutativ, noțiunile de „divizor la stânga” și „divizor la dreapta” coincid, așa că se spune simplu că a este un „divizor” al lui b, sau că acel b este un multiplu al lui a, și se scrie  . Elementele a și b ale unui domeniu de integritate sunt asociate dacă există atât   cât și  . Relația de asociere este o relație de echivalență pe R, deci împarte R în clase de echivalență⁠(d) disjuncte.

Proprietăți modificare

Enunțurile despre divizibilitatea într-un inel comutativ R pot fi traduse în enunțuri despre ideale principale. De exemplu,

  •   dacă și numai dacă  .
  • Elementele a și b sunt asociate dacă și numai dacă  .
  • Un element u este o unitate⁠(d) dacă și numai dacă u este un divizor al fiecărui element din R.
  • Un element u este o unitate dacă și numai dacă  .
  • Dacă   pentru o unitate u, atunci a și b sunt asociate. Dacă R este un domeniu de integritate, atunci reciproca este adevărată.
  • Fie R un domeniu de integritate. Dacă elementele din R sunt total ordonate după divizibilitate, atunci R se numește inel de valuare⁠(d).

Mai sus   este idealul principal al   generat de elementul  .

Zero ca divizor și ca divizor al lui zero modificare

  • Unii autori cer ca definiția divizorului a să conțină faptul că divizorul trebuie fie diferit de zero, dar acest lucru face ca unele dintre proprietățile de mai sus să eșueze.
  • Dacă se interpretează definiția divizorului literal, orice a este un divizor al lui 0, deoarece se poate lua x = 0. Din această cauză tradițional se abuzează de terminologie făcând o excepție pentru divizorii lui zero: un element a dintr-un inel comutativ se numește divizor al lui zero dacă există un x nenul astfel încât ax = 0.[2]

Note modificare

  1. ^ Bourbaki, p. 97
  2. ^ Bourbaki, p. 98

Bibliografie modificare

  • en Bourbaki, N.,  

Vezi și modificare