Dodecaedru rombic

poliedru Catalan
Dodecaedru rombic
Rhombicdodecahedron.jpg
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe12 romburi
Laturi (muchii)24
Vârfuri14
χ2
Configurația fețeiV3.4.3.4
Simbol ConwayjC
Diagramă CoxeterCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grup de simetrieOh, B3, [4,3], (*432)
Grup de rotațieO, [4,3]+, (432)
Arie≈ 11,314 a2   (a = latura)
Volum≈   3,079 a3   (a = latura)
Unghi diedru120°
Poliedru dualCuboctaedru
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe și pe laturi, paraleloedru, zonoedru
Desfășurată
Rhombicdodecahedron net.svg

În geometrie un dodecaedru rombic este un poliedru Catalan cu 12 fețe congruente. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Este tranzitiv pe fețe și pe laturi

Dual: Cuboctaedru

ProprietățiModificare

Dodecaedrul rombic este un zonoedru. Dualul tetraedrului triakis este cuboctaedrul. Lungimea diagonalei lungi a feței este exact de 2 ori lungimea diagonalei scurte; astfel, unghiurile ascuțite de pe fiecare față măsoară arccos(1/3), adică aproximativ 70,53°.

Fiind dualul unui poliedru arhimedic, dodecaedrul rombic este tranzitiv pe fețe, adică grupul de simetrie al poliedrului acționează tranzitiv pe setul său de fețe. În termeni elementari, aceasta înseamnă că pentru oricare două fețe A și B, există o rotație sau reflexie a poliedrului care ocupă aceeași regiune a spațiului când fața A este aplicată pe fața B.

Dodecaedrul rombic poate fi perceput ca anvelopa convexă a reuniunii vârfurilor unui cub și ale unui octaedru. Cele 6 vârfuri unde se întâlnesc 4 romburi corespund vârfurilor octaedrului, în timp ce cele 8 vârfuri unde se întâlnesc 3 romburi corespund vârfurilor cubului.

Dodecaedrul rombic este unul dintre cele nouă poliedre convexe tranzitiv pe laturi, celelalte fiind cele cinci poliedre platonice, cuboctaedrul, icosidodecaedrul și triacontaedrul rombic.

Dodecaedrul rombic poate fi folosit pentru a tesela spațiu tridimensional: poate fi aranjat pentru a umple un spațiu tridimensional, la fel ca hexagonul umple un plan.

Acest poliedru într-o teselare de umplere a spațiului poate fi perceput ca o teselare Voronoi⁠(d) a unei rețele cubice cu fețe centrate.

Un dodecaedru rombic poate fi divizat în 4 trapezoedre trigonale obtuze situate în jurul centrului său. Aceste romboedre sunt celulele unui fagure trapezoedric trigonal.

DimensiuniModificare

Se notează cu a lungimea laturii dodecaedrului rombic.

Raza sferei încrise (tangentă la toate fețele dodecaedrului rombic) este[1]

 

Raza sferei mediane este[2]

 

Raza sferei care trece prin cele 6 vârfuri de ordinul 4 (unde se întâlnesc câte patru fețe), dar nu și prin cele 8 vârfuri de ordinul 3 este[3]

 

Raza sferei care trece prin cele 8 vârfuri de ordinul 3 este exact de lungimea laturilor

 

Aria și volumulModificare

Dacă laturile au lungimea a, aria și volumul dodecaedrului rombic sunt

 
 

Coordonate cartezieneModificare

 
Variații piritoedrice între cub și dodecaedru rombic
 
Expandare a dodecaedrului rombic

Cele opt vârfuri în care trei fețe se întâlnesc la unghiurile lor obtuze au coordonatele carteziene:

(±1, ±1, ±1)

Coordonatele celor șase vârfuri unde patru fețe se întâlnesc la unghiurile lor ascuțite sunt:

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0) și (0, 0, ±2).

Dodecaedrul rombic poate fi văzut ca un caz limită degenerat al unui piritoedru, cu permutarea coordonatelor (±1, ±1, ±1) și (0, 1 + h, 1 − h2) cu parametrul h = 1.

Proiecții ortogonaleModificare

Dodecaedrul rombic are patru proiecții ortogonale particulare, de-a lungul axelor sale de simetrie, centrate pe față, pe latură și pe două tipuri de vârfuri, cu 3 și 4 poziții. Ultimele două corespund cu planele Coxeter B2 și A2.

Proiecții ortogonale
Simetrie
proiectivă
[4] [6] [2] [2]
Dodecaedru
rombic
       
Cuboctaedru
(dual)
       

Poliedre înruditeModificare

 
Dodecaedru rombic sferic
Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
                                                     
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    sau    
      =
    sau    
      =
   
     
 
 
 
 
 
 
 
           
 
Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
                                                                 
                                         
                     


Când sunt proiectate pe o sferă (v. figura din dreapta), se poate observa că laturile alcătuiesc laturile a două tetraedre dispuse în pozițiile lor duale (stella octangula). Această tendință continuă cu icositetraedrul deltoidal și hexecontaedrul deltoidal pentru perechile duale ale celorlalte poliedre regulate (împreună cu bipiramida triunghiulară dacă se iau în considerare pavările improprii), dând acestei forme denumirea sistematică alternativă de dodecaedru deltoidal.

Variante de pavări expandate duale cu simetrie *n32: V3.4.n.4
Simetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paracomp.
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
Config.
feței
 
V3.4.2.4
 
V3.4.3.4
 
V3.4.4.4
 
V3.4.5.4
 
V3.4.6.4
 
V3.4.7.4
 
V3.4.8.4
 
V3.4.∞.4

Acest poliedru este o parte dintr-o succesiune de poliedre rombice și pavări cu simetria [n,3] din grupul Coxeter. Cubul poate fi considerat un hexaedru rombic unde romburile sunt pătrate.

Variante de pavări cvasiregulate duale: V(3.n)2
*n32 Sferice Euclidiană Hiperbolice
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Pavare              
Conf. V(3.3)2 V(3.4)2 V(3.5)2 V(3.6)2 V(3.7)2 V(3.8)2 V(3.∞)2
Variante de pavări cvasiregulate duale: V(4.n)2
Simetrie
*4n2
[n,4]
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracompactă Necompactă
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
 
[iπ/λ,4]
Pavare
 
Conf.
 
V4.3.4.3
 
V4.4.4.4
 
V4.5.4.5
 
V4.6.4.6
 
V4.7.4.7
 
V4.8.4.8
 
V4.∞.4.∞
V4.∞.4.∞

Similar, se înrudește cu seria infinită de pavări cu configurațiile fețelor V3.2n.3.2n, prima în planul euclidian, iar restul în planul hiperbolic.

 
V3.4.3.4
(reprezentată ca desfășurată)
 
V3.6.3.6
Pavare euclidiană
pavare rombică
 
V3.8.3.8
Pavare hiperbolică
(reprezentată în modelul discului Poincaré)

StelăriModificare

 
Această animație arată construcția unui dodecaedru rombic stelat prin inversarea piramidelor centrate pe fețe ale unui dodecaedru rombic

La fel cu multe poliedre convexe, dodecaedrul rombic poate fi stelat prin extinderea fețelor sau laturilor până când se întâlnesc pentru a forma un nou poliedru. Mai multe astfel de stelări au fost descrise de Dorman Luke.[4] Prima stelare, numită adesea simplu dodecaedrul rombic stelat, este binecunoscută. Poate fi considerată un dodecaedru rombic cu fiecare față augmentată prin atașarea unei piramide cu baza un romb, cu înălțimea piramidei astfel încât laturile să se afle în planele fețelor învecinate.

Luke mai descrie patru stelări: a doua și a treia stelare (expandându-se spre exterior), una formată prin îndepărtarea celei de-a doua dintr-a treia și alta prin adăugarea dodecaedrului rombic original înapoi la precedenta.

Stelări ale dodecaedrului rombic
Prima A doua A treia
 
Dodecaedrul rombic stelat
 
 
 
Marele dodecaedru rombic stelat

NoteModificare

  1. ^ Șirul A157697 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  2. ^ Șirul A179587 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  3. ^ Șirul A020832 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  4. ^ en Luke, D. (). „Stellations of the rhombic dodecahedron”. The Mathematical Gazette. 41 (337): 189–194. doi:10.2307/3609190. JSTOR 3609190. 

BibliografieModificare

Legături externeModificare