Ecuația funcțională a lui Cauchy

Ecuația lui Cauchy pe $\mathbb {R}$

Ecuația funcțională considerată de Cauchy încă înainte de anul 1900, s-a dovedit deosebit de dificilă.Determinarea soluțiilor discontinue ale acestei ecuații a dat de lucru multor matematicieni.

Noțiuni introductive

Definiție: Ecuația funcțională $(C):{\begin{cases}f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x+y)=f(x)+f(y);&x,y\in \mathbb {R} \end{cases}}$
se numește ecuația lui Cauchy iar soluțiile ei se numesc funcții aditive.

Proprietăți

Teoremă: Dacă $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ este o funcție aditivă, atunci :
(a) $f(q)=qf(1),$ pentru orice $q\in \mathbb {Q} ;$
(b)$f(qx)=qf(x),$ pentru orice $q\in \mathbb {Q}$ și $x\in \mathbb {R} ;$
(c) Funcția $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,g(x)=f(x)-f(1)\cdot x,\ \ x\in \mathbb {R}$ este funcție aditivă și restricția ei la $\mathbb {Q}$ este $g\mid _{\mathbb {Q} }=0.$

Demonstrație: Din condiția $f(x+y)=f(x)+f(y);x,y\in \mathbb {R} ,$
prin inducție rezultă $f(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})=f(x_{1})+f(x_{2})+\ldots +f(x_{n})$
și în particular
$f(nx)=nf(x);n\in \mathbb {N}$
$f(0)=0$
$f(-nx)+f(nx)=f(0)=0,$ deci $f(-nx)=-nf(x).$
Deci $f(kx)=kf(x);k\in \mathbb {Z} ,x\in \mathbb {R} .$
Avem: $f(x)=f({\frac {x}{n}}+\ldots +{\frac {x}{n}})=nf({\frac {x}{n}}),$
deci
$f({\frac {x}{n}})={\frac {1}{n}}f(x)$ și
$f({\frac {mx}{n}})={\frac {1}{n}}f(mx)={\frac {m}{n}}f(x);\ \ m,n\in \mathbb {Z} ,\ \ n\neq 0,\ \ x\in \mathbb {R} ,$
deci $f(qx)=qf(x);x\in \mathbb {R} ,q\in \mathbb {Q} .$
Pentru $x=1$ obținem $f(q)=qf(1),\ \ q\in \mathbb {Q} ,$ deci punctele (a), (b) din teoremă sunt demonstrate.
(c) Din (a) $f(q)=qf(1),\ \ q\in \mathbb {Q} ,$ deci
$f(q)-qf(1)=0.$
Avem $g(x+y)=f(x+y)-(x+y)f(1)=f(x)-xf(1)+f(y)-yf(1)=g(x)+g(y),\ \ x,y\in \mathbb {R} ,$
deci $g$ este aditivă.

Observația:Dacă $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ este o funcție aditivă și $g\mid _{\mathbb {Q} }=0$ atunci $Img={0}$ sau $Img$ este o mulțime densă în $\mathbb {R} .$

Bibliografie

1. V. Pop, Ecuații funcționale. Ecuații clasice și probleme, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2002.
2. J. Aczel, Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York and London, 1966.

Vezi și

• Ecuația funcțională exponențială