Extensie algebrică
În algebră abstractă, o extensie de corp L/K se numește algebrică dacă fiecare element din L este algebric peste K, adică dacă fiecare element din L este o rădăcină a unor polinom nenul cu coeficienți în K.[1][2] Extensiile de corp care nu sunt algebrice, adică care conțin elemente transcendente se numesc transcendente.[3][4]
De exemplu, extensia de corp R/Q, care este corpul numerelor reale ca extensie a corpului numerelor raționale, este transcendent,[5] deoarece corpul extensiilor C/R[6] și Q(√2)/Q[7] este algebric, unde C este corpul numerelor complexe.
Toate extensiile transcendente sunt de grad infinit. Acest lucru implică faptul că toate extensiile finite sunt algebrice.[8] Inversa nu este adevărată: există extensii infinite care sunt algebrice.[9] De exemplu corpul numerelor algebrice este o extensie algebrică infinită a numerelor raționale.[10]
Fie E o extensie a corpului K, iar a ∈ E. Dacă a este algebric peste K, atunci K(a), mulțimea tuturor polinoamelor în a cu coeficienți în K, este nu numai un inel, ci un corp: K(a) este o extensie algebrică a lui K care are un grad finit peste K.[11] Inversa nu este adevărată. Q[π] și Q[e] sunt corpuri, dar π și e sunt transcendente peste Q.[12]
Toate corpurile algebric închise F nu au extensii algebrice proprii, adică nu au extensii algebrice E cu F < E.[13] Un exemplu este corpul numerelor complexe. Fiecare corp are o extensie algebrică care este închisă algebric (numită închidere algebrică), dar pentru a demonstra acest lucru în general este nevoie de o formă a axiomei alegerii.[14]
O extensie L/K este algebrică dacă și numai dacă orice K-subalgebră a L este un corp.
Properietăți modificare
Clasa extensiilor algebrice formează o clasă distinctă de extensii de corp, extensii care au următoarele trei proprietăți:[15]
- Dacă E este o extensie algebrică a lui F iar F este o extensie algebrică a lui K, atunci E este o extensie algebrică a lui K.
- Dacă E și F sunt extensii algebrice ale lui K într-un supracorp comun C, atunci produsul tensorial de corpuri(d) EF este o extensie algebrică a lui K.
- Dacă E este o extensie algebrică a lui F iar E>K>F atunci E este o extensie algebrică a lui K.
Aceste rezultate pot fi generalizate folosind inducția transfinită:
- Reuniunea oricărui lanț de extensii algebrice peste un corp de bază este ea însăși o extensie algebrică peste același corp de bază.
Acest fapt, împreună cu lema lui Zorn (aplicate la o mulțime parțial ordonată corespunzătoare), stabilește existența închiderilor algebrice.
Generalizări modificare
Teoria modelelor(d) generalizează noțiunea de extensie algebrică la teorii arbitrare: o încorporare a M în N se numește extensie algebrică dacă pentru fiecare x din N există o formulă(d) p cu parametri în M, astfel încât p(x) este adevărată iar mulțimea
este finită. Se pare că aplicarea acestei definiții la teoria corpurilor oferă definiția obișnuită a extensiei algebrice. Grupul Galois(d) al N peste M poate fi din nou definit ca grup de automorfisme, și reiese că majoritatea teoriei grupurilor Galois poate fi dezvoltată pentru cazul general.
Note modificare
- ^ en Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.
- ^ en Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.
- ^ en Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.
- ^ en Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
- ^ en Malik, Mordeson, Sen (1997), Example 21.1.17, p. 451.
- ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
- ^ en Fraleigh (2014), Example 31.8, p. 285.
- ^ en See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
- ^ en Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.
- ^ en Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.
- ^ en Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.
- ^ en Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.
- ^ en Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.
- ^ en Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.
- ^ en Lang (2002) p.228
Vezi și modificare
Bibliografie modificare
- en Fraleigh, John B. (), A First Course in Abstract Algebra, Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7
- en Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (), Algebras, rings and modules, 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
- en Lang, Serge (), „V.1:Algebraic Extensions”, Algebra (ed. Third), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- en Malik, D. B.; Mordeson, John N.; Sen, M. K. (), Fundamentals of Abstract Algebra, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
- en McCarthy, Paul J. () [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768.12001
- en Roman, Steven (), Field Theory, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
- en Rotman, Joseph J. (), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687