Extensie normală
În algebra abstractă o extensie normală este o extensie de corp algebric L/K pentru care fiecare polinom ireductibil peste K care are o rădăcină în L, se împarte în factori liniari în L.[1][2] Acestea sunt una dintre condițiile pentru ca extensiile algebrice să fie o extensii Galois(d). Bourbaki numește o astfel de extensie o cvasiextensie Galois.
Definiție modificare
Fie o extensie algebrică (adică L este o extensie algebrică pe K), astfel încât (adică L este conținută într-o închidere algebrică a lui K). Apoi, următoarele condiții, care fiecare dintre ele poate fi considera drept o definiție a extensiei normale, sunt echivalente:[3]
- Orice încorporare a L în induce un automorfism pe L.
- L este corpul de descompunere(d) al familiei de polinoame din .
- Orice polinom ireductibil din care are o rădăcină în L se descompune în L în factori liniari.
Alte proprietăți modificare
Fie L o extensie pe corpul K. Atunci:
- Dacă L este o extensie normală pe K și dacă E este o extensie intermediară (adică L ⊃ E ⊃ K), atunci L este o extensie normală pe E.[4]
- Dacă E și F sunt extensii normale pe K cuprinse în L, atunci produsele tensoriale de corpuri(d) EF și E ∩ F sint și ele extensii normale pe K.[4]
Condiții echivalente pentru normalitate modificare
Fie algebrică. Corpul L este o extensie normală dacă și numai dacă sunt îndeplinite oricare dintre condițiile echivalente de mai jos.
- Polinomul minimal peste K al fiecărui element din L se descompune pe L;
- Există o mulțime a polinoamelor care simultan se descompun pe L, astfel încât sunt corpuri, atunci S are un polinom care nu se descompune pe F;
- Toate omomorfismele au aceeași imagine;
- Grupul de automorfisme al L care fixează elemente din K, acționează tranzitiv asupra setului de omomorfisme
Exemple și contraexemple modificare
De exemplu, este o extensie normală pe deoarece este corpul de descompunere al Pe de altă arte, nu este o extensie normală pe deoarece polinomul ireductibil are o rădăcină în el, , dar nu și pe toate (nu are rădăcinile cubice imaginare ale lui 2). Se reamintește că corpul al numerelor algebrice este închiderea algebrică a adică ea conține Deoarece
Pentru orice număr prim extensia are in mod normal gradul Este corpul de descompunere al Aici semnifică a -a rădăcină primitivă a unității. Corpul este închiderea normală a
Închidere normală modificare
Dacă K este un corp iar L este o extensie algebrică pe K, atunci există o extensie algebrică M pe L astfel încât M este o extensie normală pe K. Mai mult, până la izomorfism, există o singură astfel de extensie care este minimală, adică singurul subcorp al M care conține L și a cărui extensie normală pe K este M însuși. Această extensie este numită închiderea normală a extensiei L pe K.
Dacă L este o extensie finită pe K, atunci extensia sa normală este și ea o extensie finită.
Note modificare
Bibliografie modificare
- en Lang, Serge (), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- en Jacobson, Nathan (), Basic Algebra II (ed. 2nd), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787