Fagure simplectic

${\tilde {A}}_{2}$	${\tilde {A}}_{3}$
Pavare triunghiulară	Fagure tetraedric-octaedric
Cu triunghiuri echilaterale roșii și galbene	Cu tetraedre turcoaz și galbene și tetraedre rectificate (octaedre) roșii

În geometrie un fagure simplectic (sau fagure n-simplex) este o serie infinit dimensională de faguri, bazați pe simetria afină ${\tilde {A}}_{n}$ a grupului Coxeter. Are simbolul Schläfli {3^[n+1]} și este reprezentat printr-o diagramă Coxeter–Dynkin ca un graf ciclic cu n+1 noduri cu un nod inelat. Este format din fațete n-simplexuri, împreună cu toate n-simplexurile rectificate. Poate fi considerat ca un fagure hipercubic n-dimensional care a fost subdivizat de-a lungul tuturor hiperplanelor $x+y+...\in \mathbb {Z}$, apoi întins de-a lungul diagonalei sale principale până când simplexurile de la capetele hipercuburilor devin regulate. Figura vârfului unui fagure n-simplex este un n-simplex expandat.

În spațiul bidimensional fagurele simplectic este pavarea triunghiulară, cu diagrama Coxeter umplând planul cu triunghiuri colorate alternativ. În spațiul tridimensional fagurele simplectic este fagurele tetraedric-octaedric, cu diagrama Coxeter umplând spațiul cu celule alternativ tetraedrice și octaedrice. În spațiul cvadridimensional este fagurele 5-celule, cu diagrama Coxeter , cu fațetele formate din 5-celule și 5-celule rectificat. În 5 dimensiuni este fagurele 5-simplex, cu diagrama Coxeter , umplând spațiul cu 5-simplexuri, 5-simplexuri rectificate și 5-simplexuri birectificate. În 6 dimensiuni este fagurele 6-simplex, cu diagrama Coxeter , umplând spațiul cu 6-simplexuri, 6-simplexuri rectificate și fațete 6-simplexuri birectificate.

După dimensiune

n	${\tilde {A}}_{2+}$	Teselare	Figura vârfului	Fațete pe figura vârfului	Vârfuri pe figura vârfului	Figura laturii
1	${\tilde {A}}_{1}$	Apeirogon		1	2	-
2	${\tilde {A}}_{2}$	Pavare triunghiulară fagure 2-simplex	Hexagon (Triunghi trunchiat)	3+3 triunghiuri	6	Segment
3	${\tilde {A}}_{3}$	Fagure tetraedric-octaedric fagure 3-simplex	Cuboctaedru (Tetraedru cantelat)	4+4 tetraedre 6 tetraedre rectificate	12	Dreptunghi
4	${\tilde {A}}_{4}$	Fagure 4-simplex	5-celule runcinat	5+5 5-celule 10+10 5-celule rectificat	20	Antiprismă triunghiulară
5	${\tilde {A}}_{5}$	Fagure 5-simplex	5-simplex stericat	6+6 5-simplex 15+15 5-simplex rectificat 20 5-simplex birectificat	30	Antiprismă tetraedrică
6	${\tilde {A}}_{6}$	Fagure 6-simplex	...	...	...	...

Proiecție prin „plieri”

Fagurii (2n−1)-simplex și fagurii 2n-simplex pot fi proiectați în fagurele hipercubic n-dimensional printr-o operație de pliere geometrică care aplică două perechi de oglinzi una pe cealaltă, având în comun același aranjament al vârfurilor:

${\tilde {A}}_{2}$		${\tilde {A}}_{4}$		${\tilde {A}}_{6}$		${\tilde {A}}_{8}$		${\tilde {A}}_{10}$		...
${\tilde {A}}_{3}$		${\tilde {A}}_{3}$		${\tilde {A}}_{5}$		${\tilde {A}}_{7}$		${\tilde {A}}_{9}$		...
${\tilde {C}}_{1}$		${\tilde {C}}_{2}$		${\tilde {C}}_{3}$		${\tilde {C}}_{4}$		${\tilde {C}}_{5}$		...

Bibliografie

• en George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)
• en Branko Grünbaum, Uniform tilings of 3-space. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
• en Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
• en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8
• en Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]

• (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Uniform space-fillings)
• (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

Vezi și

• Fagure hipercubic

Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8
Spațiu	Familia	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
E2	Pavare uniformă	{3[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Hexagonală
E3	Fagure convex uniform	{3[4]}	δ4	hδ4	qδ4
E4	4-fagure uniform	{3[5]}	δ5	hδ5	qδ5	Fagure 24-celule
E5	5-fagure uniform	{3[6]}	δ6	hδ6	qδ6
E6	6-fagure uniform	{3[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
E7	7-fagure uniform	{3[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
E8	8-fagure uniform	{3[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
En-1	(n−1)-fagure uniform	{3[n]}	δn	hδn	qδn	1k2 • 2k1 • k21