Parabola (y = x2, în roșu) și cubica (y = x3, în albastru) într-o proiecție spațială bine sugerată, dar bidimensional.

Geometria algebrică este o ramură a matematicii, care, așa cum numele o sugerează, combină algebra abstractă, în special algebra comutativă cu geometria. Geometria algebrică poate fi înțeleasă ca studiul unui grup de soluții al sistemelor de ecuații algebrice. Atunci când există mai mult de o variabilă, considerente de natură geometrică intră "în joc", înțelegerea fenomenului fiind importantă. S-ar putea spune că subiectul abia începe acolo unde rezolvarea ecuațiilor se termină. De asemenea, se poate argumenta că este la fel de importantă găsirea ansamblului tuturor soluțiilor posibile ale unui sistem de ecuații ca și găsirea unei singure soluții. Oricum, aceste considerente conduc la interpretări de natură complexă și filozofică a matematicii, atât conceptual cât și tehnic.

Cuprins

Zero-urile polinoamelor simultaneModificare

În geometria algebrică clasică, obiectul esențial al interesului îl reprezintă grupul tuturor punctelor care satisfac simultan una sau mai multe ecuații polinomiale. Spre exemplificare, sfera tridimensională în spațiul euclidian tridimensional   poate fi definită ca mulțimea tuturor punctelor   care satisfac ecuația:

 

Astfel, un cerc "înclinat" în   poate fi definit ca mulțimea tuturor punctelor   care satisfac simultan următoarele două ecuații polinomiale:

 
 

Varietăți afineModificare

Spațiul afin peste un câmp   este produsul cartezian  , unde   denotă dimensiunea spațiului. Punctele lui   pot fi exprimate in coordonate  .

O varietate afină este o submulțime a lui  , ale cărei puncte sunt zerourile simultane ale unei colecții de polinoame în   variabile. Mai exact, dacă   este o colecție de polinoame, atunci o varietate afină este

 .

Dacă punctele unei varietăți   sunt zerourile unei colecții de polinoame  , atunci ele sunt zerourile oricărui polinom din idealul general de polinoamele  . Acest ideal se notează cu   și se numește idealul varietății  .

Reciproc, pornind de la un ideal de polinoame  , varietatea punctelor care satisfac simultan toate polinoamele din   se notează cu  . Relația dintre idealuri și varietăți este completată de teorema zerourilor lui Hilbert (germană: Nullstellensatz), care afirmă că pentru un ideal de polinoame  ,

 ,

unde   denotă radicalul lui  . De asemenea, pentru orice varietate   are loc relația

 

Varietățile afine sunt precis mulțimile închise din topologia Zariski.

Funcții regulateModificare

O funcție regulată pe o varietate algebrică   este restricția la   a unei funcții polinomiale pe   (adică a unui polinom in   variabile cu coeficienți în  ). Prin definiție, polinoamele din idealul   se anulează pe întregul  . De aceea, este mai firesc ca funcțiile regulate pe   să fie privite modulo  .

Astfel, funcțiile regulate pe   formează un inel, a cărui definiție formală este

 

De exemplu, dacă  , atunci   și astfel  .

Dacă   este un singur punct  , atunci   și atunci  .

Categoria varietăților afineModificare

Spațiul proiectivModificare

Punctul de vedere modernModificare

Note și istoricModificare

Vezi șiModificare

ReferințeModificare

A classical textbook, predating schemes:

Modern textbooks that do not use the language of schemes:

Textbooks and references for schemes:

Legături externeModificare