În matematică, un grup Coxeter, numit după H.S.M. Coxeter, este un grup abstract care admite o descriere formală în funcție de reflexii (sau oglindiri). Grupurile Coxeter finite sunt chiar grupurile de reflexie euclidiene finite. Un exemplu este grupul de simetrie al poliedrelor regulate. Totuși, nu toate grupurile Coxeter sunt finite și nu toate pot fi descrise în funcție de simetrii și reflexii euclidiene. Grupurile Coxeter au fost introduse în 1934 ca abstracții ale grupurilor de reflexie,(Coxeter 1934) iar grupurile Coxeter finite au fost clasificate în 1935.(Coxeter 1935)

Grupurile Coxeter au aplicații în multe domenii ale matematicii. Exemple de grupuri finite Coxeter sunt grupurile de simetrie ale politopurilor regulate și grupurile Weyl din algebrele Lie simple. Exemple de grupuri Coxeter infinite sunt grupurile triunghiului corespunzătoare teselărilor regulate ale planului euclidian și hiperbolic, și grupurile Weyl infinit-dimensionale ale algebrelor Kac–Moody.

Articolul se bazează în special pe două surse: (Humphreys 1992) și (Davis 2007).

DefinițieModificare

În mod formal, un grup Coxeter poate fi definit ca un grup cu prezentarea:

unde și pentru . Condiția însemnă că nu ar trebui impusă nicio relație de forma .

Perechea unde este un grup Coxeter cu generatorii este numită sistem Coxeter. De reținut că în general nu este determinat unic de . De exemplu, grupurile Coxeter de tip și sunt izomorfe dar sistemele Coxeter nu sunt echivalente (v. mai jos).

Din definiția de mai sus se pot trage imediat o serie de concluzii.

  • Relația înseamnă că pentru toți  ; adică generatorii sunt involuții.
  • Dacă , atunci generatorii și sunt comutativi. Aceasta rezultă observând că
,
care, împreună cu
implică
.
Alternativ, deoarece generatorii sunt involuții, , prin urmare , iar asta este același lucru cu a fi comutator.
  • Pentru a evita redundanța dintre relații, este necesară presupunerea că . Aceasta rezultă observând că
,
care, împreună cu
implică
.
Alternativ, și sunt elemente conjugate, deoarece .

Matricile Coxeter și SchläfliModificare

O matrice Coxeter este o matrice simetrică , cu intrările . Orice matrice simetrică cu intrări diagonale exclusiv 1 și intrări nediagonale din mulțimea este o matrice Coxeter.

Matricea Coxeter poate fi codificată convenabil printr-o diagramă Coxeter, conform următoarelor reguli.

  • Vârfurile grafului sunt etichetate cu indicii generatorului.
  • Vârfurile și sunt adiacente dacă și numai dacă .
  • O latură (legătură) este etichetată cu valoarea ori de câte ori valoarea este sau mai mare.

În particular, doi generatori sunt comutativi dacă și numai dacă nu sunt conectați printr-o latură. Mai mult, dacă un graf Coxeter are două sau mai multe componente conectate, grupul asociat este produsul direct al grupurilor asociate componentelor individuale. Astfel, reuniunea disjunctă a grafurilor Coxeter produce un produs direct al grupurilor Coxeter.

Matricea Coxeter, , este legată de matricea Schläfli cu intrări , dar elementele sunt modificate, fiind proporționale cu produsul scalar al perechilor de generatori. Matricea Schläfli este utilă deoarece valorile proprii determină dacă grupul Coxeter este de tip finit (toate pozitive), tip afin (toate nenegative, cel puțin un zero) sau tip nedefinit (altfel). Tipul nedefinit este uneori subdivizat în continuare, de ex. în grupuri hiperbolice și alte grupuri Coxeter. Există mai multe definiții neechivalente pentru grupurile Coxeter hiperbolice.

Exemple
Grup Coxeter A1×A1 A2 B2 H2 G2 A3 B3 D4
Diagramă Coxeter CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
Matrice Coxeter
Matrice Schläfli

ExempluModificare

Graful în care vârfurile de la 1 la n sunt plasate într-un rând, cu fiecare vârf conectat printr-o muchie cu vecinii săi imediați dă naștere la grupul simetric Sn+1; generatorii corespund transpozițiilor (1 2), (2 3), ... , (n n+1). Două transpoziții neconsecutive comută întotdeauna, în timp ce (k k+1) (k+1 k+2) dă permutarea ciclică (k k+2 k+1). Desigur, acest lucru arată doar că Sn+1 este grupul factor din grupul Coxeter descris de graf, dar nu este prea dificil să se verifice dacă egalitatea este adevărată.

Conexiunea cu grupurile de reflexieModificare

Grupurile Coxeter sunt profund legate de grupurile de reflexie. Simplu spus, grupurile Coxeter sunt grupuri abstracte (date printr-o prezentare), în timp ce grupurile de reflexie sunt grupuri concrete (date ca subgrupuri ale grupurilor liniare sau diverse generalizări). Grupurile Coxeter au provenit din studiul grupurilor de reflexie — ele sunt o abstractizare: un grup de reflexie este un subgrup al unui grup liniar generat de reflexii (care are ordinul 2), în timp ce un grup Coxeter este un grup abstract generat de involuții (elemente de ordinul 2, abstracție din reflexii), și ale cărei relații au o anumită formă (, corespunzând intersecțiilor hiperplanelor la un unghi de , cu fiind de ordinul k, extras dintr-o rotație de ).

Grupul abstract al unui grup de reflexie este un grup Coxeter, în timp ce invers, un grup de reflexie poate fi văzut ca o reprezentare liniară a unui grup Coxeter. Pentru grupurile de reflexie finite, aceasta produce o corespondență exactă: fiecare grup finit Coxeter admite o reprezentare fidelă ca un grup de reflecție finit al unui spațiu euclidian. Însă pentru grupurile Coxeter infinite, un grup Coxeter poate să nu admită o reprezentare ca grup de reflecție.

Din punct de vedere istoric, (Coxeter 1934) a demonstrat că fiecare grup de reflexie este un grup Coxeter (adică, are o prezentare în care toate relațiile sunt de forma sau ). Prin această lucrare a introdus noțiunea de grup Coxeter, în timp ce în (Coxeter 1935) a demonstrat că fiecare grup finit Coxeter are o reprezentare ca grup de reflexie și a clasificat grupurile finite Coxeter.

Grupuri Coxeter finiteModificare

Grafuri Coxeter ale grupurilor Coxeter finite

ClasificareModificare

Grupurile Coxeter finite au fost clasificate în (Coxeter 1935) conform diagramelor Coxeter–Dynkin. Toate sunt reprezentate de grupurile de reflexie a spațiilor euclidiene finite dimensional.

Grupurile finite Coxeter constau din trei familii cu un singur parametru, de rang crescător o familie cu un singur parametru de dimensiunea doi, și șase grupuri excepționale: și Produsul a multe grupuri Coxeter finite din această listă este și el un grup Coxeter și toate grupurile Coxeter finite se formează astfel.

Grupuri WeylModificare

Multe, dar nu toate dintre acestea, sunt grupuri Weyl, iar orice grup Weyl poate fi realizat ca grup Coxeter. Grupurile Weyl sunt familiile și iar excepțiile și sunt notate în notația grupurilor Weyl cu Excepțiile și nu sunt grupuri Weyl, iar familia excepțională coincide cu unul dintre grupurile Weyl (anume, and ).

Acest lucru poate fi demonstrat prin compararea restricțiilor asupra diagramelor Dynkin (neorientate) cu restricțiile asupra diagramelor Coxeter ale grupurilor finite: formal, graful Coxeter poate fi obținut din diagrama Dynkin ștergând orientarea legăturilor și înlocuind fiecare legătură dublă cu o legătură etichetată „4” și fiecare legătură triplă cu o legătură etichetată „6”. De asemenea, de reținut că fiecare grup Coxeter finit generat este un grup automat.[1] Diagramele Dynkin au restricția suplimentară conform căreia singurele etichete ale legăturilor permise sunt „2”, „3”, „4” și „6”, ceea ce dă rezultatele de mai sus. Geometric, aceasta corespunde cu teorema de restricție cristalografică, iar faptul că politopurile excluse nu umplu spațiul sau nu pavează planul — pentru , dodecaedrul (dualul icosaedrului) nu umplu spațiul; pentru 120-celule (dualul lui 600-celule) nu umplu spațiul; pentru un p-gon nu pavează planul, cu excepția sau (dalele triunghiulare, pătrate și respectiv hexagonale).

De reținut și că diagramele Dynkin (orientate) Bn și Cn generează același grup Weyl (deci grup Coxeter), deoarece acestea diferă ca grafuri orientate, dar sunt la fel ca grafuri neorientate- orientarea contează pentru sistemele de generatori, dar nu pentru grupul Weyl; aceasta corespunde cu hipercubul și ortoplexul care sunt politopuri diferite, dar au același grup de simetrie.

ProprietățiModificare

În tabelul următor sunt date unele proprietăți ale grupurilor Coxeter finite ireductibile. Ordinea grupurilor reductibile poate fi calculată din produsul ordinelor subgrupurilor lor ireductibile.

Rang
n
Simbol
grup
Simbol
alternativ
Notația Coxeter Diagramă
Coxeter
Reflexii
m=12nh[2]
Număr Coxeter
h
Ordin Structura grupului[3] politopuri asociate
1 A1 A1 [ ] CDel node.png 1 2 2 { }
2 A2 A2 [3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 3 3 6 {3}
3 A3 A3 [3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 6 4 24 {3,3}
4 A4 A4 [3,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 10 5 120 {3,3,3}
5 A5 A5 [3,3,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 15 6 720 {3,3,3,3}
n An An [3n−1] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png n(n + 1)/2 n + 1 (n + 1)! n-simplex
2 B2 C2 [4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 4 4 8 {4}
3 B3 C3 [4,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 9 6 48 {4,3} / {3,4}
4 B4 C4 [4,3,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 16 8 384 -{4,3,3} / {3,3,4}
5 B5 C5 [4,3,3,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 25 10 3840 {4,3,3,3} / {3,3,3,4}
n Bn Cn [4,3n−2] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png n2 2n 2n n! n-cub / n-ortoplex
4 D4 B4 [31,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 12 6 192 h{4,3,3} / {3,31,1}
5 D5 B5 [32,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 20 8 1920 h{4,3,3,3} / {3,3,31,1}
n Dn Bn [3n−3,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png n(n − 1) 2(n − 1) 2n−1 n! n-semicub / n-ortoplex
6 E6 E6 [32,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 36 12 51840 (72x6!)

221, 122

7 E7 E7 [33,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 63 18 2903040 (72x8!) 321, 231, 132
8 E8 E8 [34,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 120 30 696729600 (192x10!) 421, 241, 142
4 F4 F4 [3,4,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24 12 1152 {3,4,3}
2 G2 – (D6
2
)
[6] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png 6 6 12 {6}
2 H2 G2 [5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 5 5 10 {5}
3 H3 G3 [3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 15 10 120 {3,5} / {5,3}
4 H4 G4 [3,3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 60 30 14400 [a] {5,3,3} / {3,3,5}
2 I2(n) Dn
2
[n] CDel node.pngCDel n.pngCDel node.png n n 2n

când n = pk + 1, p prim când n = pk − 1, p prim

{p}
  1. ^ un subgrup indice 2 al

Grupuri de simetrie ale politopurilor regulateModificare

Toate grupurile de simetrie ale politopurilor regulate sunt grupuri Coxeter finite. De reținut că politopul dual are același grup de simetrie.

Există trei serii de politopuri regulate în toate dimensiunile. Grupul de simetrie al unui n-simplex regulat este grupul simetric Sn+1, cunoscut și ca grupul Coxeter de tip An. Grupul de simetrie al n-cubului și al dualului său, n-ortoplexul, este Bn, este cunoscut ca grupul hiperoctaedric.

Politopurile regulate excepționale din două, trei și patru dimensiuni corespund altor grupuri Coxeter. În două dimensiuni, grupurile diedrale, care sunt grupurile de simetrie ale poligoanelor regulate, formează seria I2(p). În trei dimensiuni, grupul de simetrie al dodecaedrului regulat și al dualului său, icosaedrul regulat, este H3, cunoscut sub numele de grupul icosaedric complet. În patru dimensiuni, există trei politopuri regulate particulare, 24-celule, 120-celule și 600-celule. Primul are grupul de simetrie F4, iar celelalte două sunt duale și au grupul de simetrie H4.

Grupurile Coxeter de tip Dn, E6, E7 și E8 sunt grupurile de simetrie ale anumitor politopuri semiregulate.

Tabelul familiilor de politopuri ireductibile
Familia
n
n-simplex n-hipercub n-ortoplex n-semicub 1k2 2k1 k21 politop pentagonal
Grup An Bn
I2(p) Dn
E6 E7 E8 F4 G2
Hn
2 2-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Triunghi

2-cube.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png

Pătrat

Regular polygon 7.svg
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png
p-gon
(exemplu: p=7)
Regular polygon 6.svg
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
Hexagon
Regular polygon 5.svg
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Pentagon
3 3-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Tetraedru
3-cube t0.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Cub
3-cube t2.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Octaedru
3-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.png
Tetraedru
  Dodecahedron H3 projection.svg
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Dodecaedru
Icosahedron H3 projection.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Icosaedru
4 4-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-celule
4-cube t0.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Tesseract

4-cube t3.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
16-celule
4-demicube t0 D4.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

Semitesseract

24-cell t0 F4.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
24-celule
120-cell graph H4.svg
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
120-celule
600-cell graph H4.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
600-celule
5 5-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-simplex
5-cube graph.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-hipercub
5-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5-ortoplex
5-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
5-semicub
   
6 6-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6-simplex
6-cube graph.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6-hipercub
6-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
6-ortoplex
6-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
6-semicub
Up 1 22 t0 E6.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
122
E6 graph.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
221
 
7 7-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
7-simplex
7-cube graph.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
7-hipercub
7-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
7-ortoplex
7-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
7-semicub
Gosset 1 32 petrie.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
132
Gosset 2 31 polytope.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
231
E7 graph.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
321
 
8 8-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8-simplex
8-cube.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8-hipercub
8-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
8-ortoplex
8-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
8-semicub
Gosset 1 42 polytope petrie.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
142
2 41 polytope petrie.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
241
Gosset 4 21 polytope petrie.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
421
 
9 9-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9-simplex
9-cube.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9-hipercub
9-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
9-ortoplex
9-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
9-semicub
 
10 10-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10-simplex
10-cube.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10-hipercub
10-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
10-ortoplex
10-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
10-semicub
 


Grupuri Coxeter afineModificare

Diagramele Coxeter pentru grupurile Coxeter afine
Diagrama Stiefel pentru sistemul de generatori

Grupurile Coxeter afine formează o a doua serie importantă de grupuri Coxeter. Acestea nu sunt ele însele finite, dar fiecare conține un subgrup abelian normal astfel încât grupul factor corespunzător este finit. În fiecare caz grupul factor este el însuși un grup Coxeter, iar graful Coxeter al grupului Coxeter afin este obținut din graful Coxeter al grupului factor adăugând un alt vârf și una sau două muchii suplimentare. De exemplu, pentru n ≥ 2, graful format din n+1 vârfuri într-un cerc este obținut așa din An , iar grupul Coxeter corespunzător este grupul Weyl afin al An (grupul simetric afin). Pentru n = 2, acest lucru poate fi reprezentat ca un subgrup al grupului de simetrie al pavării regulate a planului cu triunghiuri echilaterale.

În general, fiind dat sistem de generatori, se poate construi diagrama Stiefel asociată, constând din hiperplanele ortogonale pe generatori împreună cu unele translații ale acestor hiperplane. Grupul Coxeter afin (sau grupul Weyl afin) este apoi grupul generat de reflexiile (afine) pe toate hiperplanele din diagramă.[4] Diagrama Stiefel împarte planul în infinit de numeroase componente conexe numite nișe, iar grupul Coxeter afin acționează liber și tranzitiv asupra nișelor, la fel cum grupul Weyl obișnuit acționează liber și tranzitiv asupra camerelor Weyl. Figura din dreapta ilustrează diagrama Stiefel pentru sistemul de generatori .

Presupunând că este un sistem de generatori ireductibil de rang fie o colecție de generatori simpli. Fie și ca să fie generatorul superior. Atunci grupul Coxeter afin este generat de reflexiile obișnuite (liniare) pe hiperplanele perpendiculare pe , împreună cu o reflexie afină dată de translația hiperplanului perpendicular pe . Graful Coxeter pentru grupul Weyl afin este diagrama Coxeter–Dynkin pentru , împreună cu un nod suplimentar asociat cu . În acest caz o nișă a diagramei Stiefel poate fi obținută luând camera Weyl fundamentală și divizând-o printr-o translație a hiperplanului perpendiculară pe .[5]

Lista grupurilor Coxeter afine este următoarea:

Simbol
grup
Simbol
Witt
Notație
Coxeter
Diagramă
Coxeter
Teselări uniforme asociate
[3[n]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
sau
CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
Fagure simplectic
[4,3n − 3,31,1] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png Fagure semihipercubic
[4,3n−2,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Fagure hipercubic
[ 31,1,3n−4,31,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png Fagure semihipercubic
[32,2,2] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png sau CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 222
[33,3,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png sau CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 331, 133
[35,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 521, 251, 152
[3,4,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Fagure 16-celule
Fagure 24-celule
[6,3] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Pavare hexagonală și
Pavare triunghiulară
[∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png Apeirogon

În fiecare caz indicele simbolului grupului este mai mic cu 1 decât numărul de noduri, deoarece fiecare dintre aceste grupuri a fost obținut prin adăugarea unui nod la graful unui grup finit.

Grupuri Coxeter hiperboliceModificare

Există un număr infinit de grupuri Coxeter hiperbolice descriind grupurile de reflexie în spațiul hiperbolic, incluzând în special grupurile triunghiulare hiperbolice.

OmologieModificare

Deoarece un grup Coxeter este generat de multe elemente finite de ordinul 2, abelianizarea sa este un 2-grup abelian elementar, adică este izomorf pentru suma directă a mai multor copii ale grupului ciclic . Acest lucru poate fi reafirmat în termenii primului grup de omologie din .

Multiplicatorul Schur , egal cu al doilea grup de omologie din , a fost calculat în (Ihara & Yokonuma 1965) pentru grupuri de reflexie finite și în (Yokonuma 1965) pentru grupurile de reflexie afine, mai unificat în (Howlett 1988). În toate cazurile, multiplicatorul Schur este și el un 2-grup abelian elementar. Pentru fiecare familie infinită de grupuri Weyl finite sau afine, rangul se stabilizează pe măsură ce tinde spre infinit.

NoteModificare

  1. ^ en Brink, Brigitte; Howlett, RobertB. (), „A finiteness property and an automatic structure for Coxeter groups”, Mathematische Annalen, 296 (1): 179–190, doi:10.1007/BF01445101, Zbl 0793.20036. 
  2. ^ Coxeter, Regular polytopes, §12.6 The number of reflections, equation 12.61
  3. ^ en Wilson, Robert A. (), „Chapter 2”, The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5 
  4. ^ Hall 2015. Secțiunea 13.6
  5. ^ Hall 2015. Capitolul 13, Exercițiile 12 și 13

BibliografieModificare

Lectură suplimentarăModificare

Legături externeModificare