Hiperboloid

Nu confundați cu Paraboloid hiperbolic.

Hiperboloid al unei suprafețe unice

Suprafață conică obișnuită

Hiperboloid a două suprafețe distincte

În matematică, printr-un hiperboloid se înțelege o cuadrică, un anumit fel de suprafață tri-dimensională, descrisă de ecuația

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$   (Hiperboloid al unei suprafețe unice),

ori

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1$   (Hiperboloid a două suprafețe distincte).

Ambele aceste suprafețe sunt asimptote la aceeași suprafață conică, pe măsură ce x ori y devin mai mari,

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0$

Astfel de suprafețe se numesc hiperboloizi eliptici, dacă și numai dacă a = b, atunci un hiperboloid eliptic devine un hiperboloid de revoluție, fiind de asemenea numit hiperboloid circular.

Coordonate carteziene

Animație prezentând un
hiperboloid de revoluție

Coordonatele carteziene pentru hiperboloizi pot fi definite, similar coordonatelor sferice, menținând azimutul unghiului θ ∈ Format:Closed-open, dar schimbând înclinația v în funcții hiperbolice trigonometrice,

Hiperboloidul unei singure suprafețe, v ∈ Format:Closed-closed devine,

$x=a\cosh v\cos \theta$

$y=b\cosh v\sin \theta$

$z=c\sinh v$

Iar hiperboloidul a două suprafețe, v ∈ Format:Closed-closed

$x=a\sinh v\cos \theta$

$y=b\sinh v\sin \theta$

$z=\pm c\cosh v$

Ecuații generalizate

Mult mai generalizat, un hiperboloid arbitrar, centrat în v, este definit de ecuația:

$(\mathbf {x-v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x-v} )=1,$

în care A este o matrice, iar x și v sunt vectori euclidieni.

Structuri hiperboloidale

Articol principal: Structuri hiperboloidale.

Redă fișierul media

Shukhov hyperboloid tower (1898) in Vyksa

Referințe

• Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie,Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
• David A. Brannan, M. F. Esplen, & Jeremy J Gray (1999) Geometry, pages 39–41 Cambridge University Press.
• H. S. M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, page 130, John Wiley & Sons.

Legături externe

• Eric W. Weisstein, Hyperboloid la MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Elliptic Hyperboloid la MathWorld.

Vezi și

• Coordonate eliptice
• Elipsă
• Elipsoid
• Hiperbolă
• Viteză unghiulară medie reală