Inegalitatea lui Minkowski

În analiza matematică, inegalitatea lui Minkowski reprezintă o generalizare a inegalității triunghiului și sugerează faptul că spațiile L^p sunt spații vectoriale normate.

Poartă numele matematicianului Hermann Minkowski.

Enunț

Propoziție. Fie  $a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ,\;1\leq i\leq n$  și  $p>0.$  Atunci:

$\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}$

$(1)$

dacă  $1\leq p\leq \infty$ 

sau:

${\displaystyle }$

$\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}$

$(2)$

dacă  $0<p<1$ și  $a_{i},b_{i}>0\;(1\leq i\leq n).$ 

Demonstrație

1) Fie  $1\leq p<\infty .$  Cazul când  $p=1$  sau  $\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}=0$  fiind evident, se presupune  $p>1$  și  $\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\neq 0.$  Rezultă:

$|a_{i}+b_{i}|^{p}\leq |a_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}+|b_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}.$

$(3)$

Însumând după  $i$  și folosind inegalitatea lui Hölder pentru  $q={\frac {p}{p-1}},$  se obține succesiv:

$\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\leq \sum _{i=1}^{n}|a_{i}||a_{i}+b_{i}|^{p-1}+\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}\leq$

$\leq \left(\sum _{i=1}^{p}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}.$

Se simplifică prin  $\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}$  și se ține seama că  $(p-1)q=p,$  de unde rezultă:

$\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}.$

$(4)$

Înlocuind  $1-{\frac {1}{q}}$  prin  ${\frac {1}{p}},$  se obține egalitatea de demonstrat.

2) Fie  $0<p<1.$  Deoarece  $a_{i}>0,\;b_{i}>0,\;(\forall )i={\overline {1,n}},$  inegalitatea (3) devine egalitate și raționamentul se continuă în mod similar.

Caz particular

${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}},\!$

unde $a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ,\;\forall i\in {\overline {1,n}}.\!$