Inegalitatea lui Minkowski

În analiza matematică, inegalitatea lui Minkowski reprezintă o generalizare a inegalității triunghiului și sugerează faptul că spațiile Lp sunt spații vectoriale normate.

Poartă numele matematicianului Hermann Minkowski.

EnunțModificare

Propoziție. Fie     și     Atunci:

   

dacă    

sau:

   

dacă    și    

DemonstrațieModificare

1) Fie     Cazul când     sau     fiind evident, se presupune     și     Rezultă:

   

Însumând după     și folosind inegalitatea lui Hölder pentru     se obține succesiv:

 
 

Se simplifică prin     și se ține seama că     de unde rezultă:

   

Înlocuind     prin     se obține egalitatea de demonstrat.

2) Fie     Deoarece     inegalitatea (3) devine egalitate și raționamentul se continuă în mod similar.

Caz particularModificare

 

unde