Inelul numerelor întregi

În matematică, inelul numerelor întregi al unui corp algebric K este inelul elementelor întregi conținute în K.

Pentru construcția mulțimii numerelor întregi $\mathbb {Z}$ se utilizează următoarea teoremă atribuită lui Anatoli Malțev:

Teoremă.

Fie $(M,\cdot )$ un monoid comutativ cu proprietatea de simplificare. Atunci există un grup comutativ G(M) și un morfism injectiv de monoizi:

$i_{M}:\;M\to G(M),$

care verifică următoarea proprietate de universalitate:

Pentru orice grup comutativ G și orice morfism de monoizi $f:M\to G$ există un unic morfism de grupuri $f':G(M)\to G$ astfel încât diagrama de mai jos este comutativă (adică $f'\circ i_{M}=f$):

Demonstrație

Pe mulțimea $M'=M\times M$ definim relația $(x,y)\sim (x',y'){\overset {def}{\Longleftrightarrow }}xy'=yx'.$
Se demonstrează că $\sim$ este o echivalență pe $M'$ compatibilă cu structura de monoid a lui $M'$ (adică $\sim$ este o congruență pe monoidul produs $M'=M\times M$).

În mod evident, relația $\sim$ este reflexivă și simetrică. Dacă $(x,y)\sim (x',y')$ și $(x',y')\sim (x'',y'')$ atunci $xy'=yx'$ și $x'y''=x''y',$ de unde $xx'y'y''=x'x''yy',$ deci $xy''=yx'',$ adică $(x,y)\sim (x'',y''),$ deci relația $\sim$ este și tranzitivă, de unde concluzia că $\sim$ este o echivalență pe $M'$.