Mulțime conexă
Acest articol sau secțiune are mai multe probleme. Puteți să contribuiți la rezolvarea lor sau să le comentați pe pagina de discuție. Pentru ajutor, consultați pagina de îndrumări.
Nu ștergeți etichetele înainte de rezolvarea problemelor. |
O mulțime este conexă într-un spațiu topologic dacă nu este reuniunea a două mulțimi nevide deschise și disjuncte. Folosind limbajul obișnuit, o mulțime conexă poate fi descrisă ca fiind o mulțime formată dintr-o singură bucată. De exemplu, intervalele de numere reale sunt mulțimi conexe.
Definiții și caracterizări
modificareFie (S,d) un spațiu metric.
Se spune despre o mulțime S că este conexă dacă în S nu există două mulțimi deschise D1 și D2 astfel încât
- O mulțime care nu este conexă se numește neconexă. O mulțime deschisă și conexă se numește domeniu.
Dacă o mulțime este conexă într-un spațiu topologic atunci spațiul respectiv este un spațiu topologic conex.
- O multime este conexă dacă și numai dacă este interval.
- O mulțime nevidă a unui spațiu metric este conexă dacă și numai dacă orice funcție continuă de forma este constantă.
Altfel spus, o mulțime este conexă dacă și numai dacă nu se poate reprezenta ca reuniunea a două mulțimi deschise relativ la , disjuncte și nevide. Din acest motiv, mulțimile conexe se mai numesc și mulțimi dintr-o singură bucată.
- Aderența oricărei mulțimi conexe este o mulțime conexă.
- Fie Á o familie de mulțimi conexe în (S,d) a cărei intersecție este nevidă. Atunci reuniunea sa este de asemenea o mulțime conexă în (S,d).
- Dacă , atunci clasa de echivalență care îl conține pe x se numește componenta conexă a punctului x și se notează cu Cx.
Evident, dacă (S,d) este un spațiu topologic conex atunci Cx=S pentru orice .
- Fie T o mulțime deschisă în spațiul topologic (S,d). Atunci T este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, deschise și disjuncte T1 și T2 cu .
- Fie F o mulțime închisă în spațiul topologic (S,d). Atunci F este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, disjuncte și închise F1 și F2 cu .
Exemple
modificare- Mulțimea vidă și mulțimile formate dintr-un singur element (singletoanele) sunt conexe în orice spațiu topologic.
- Mulțimea A={0,1} din nu este conexă deoarece există, de exemplu, mulțimile deschise și astfel încât
.
- Dacă db este topologia banală pe S atunci (S,db) este un spațiu topologic conex.
- Dacă pe se consideră topologia discretă t0, atunci ( , t0) nu este un spațiu topologic conex.
- Mulțimea (hiperbola)
nu este conexă în ( , d) căci mulțimile deschise și au proprietățile
.
Bibliografie
modificare- Mihail Megan, Analiză matematică, volumul I, Editura Mirton, Timișoara,1999,pag.152-160
- Nicolae Cotfas, Liviu Adrian Cotfas, Elemente de analiză matematică, Editura Universității din București, București, 2010, pp. 82-87.