În teoria numerelor, un număr Heegner (cum a fost numit de John Horton Conway și Richard K. Guy) este un număr pozitiv liber de pătrate astfel încât corpul pătratic imaginar să aibă numărul clasei . Echivalent, inelul său al numerelor întregi este un inel factorial.[1]

Număr Heegner
Numit dupăKurt Heegner
Anul publicării1952
Nr. de termeni cunoscuți9
Nr. total de termeni9
Primii termeni1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163
Index OEIS

Determinarea acestor numere este un caz special al problemei numărului clasei și ele stau la baza mai multor rezultate remarcabile din teoria numerelor.

Conform teoremei (Baker–)Stark–Heegner există exact nouă numere Heegner:.[2][3] Acest rezultat a fost conjecturat de Carl Friedrich Gauss și demonstrat cu o mică scăpare de Kurt Heegner în 1952. Alan Baker și Harold Stark au demonstrat în mod independent rezultatul în 1966, iar Stark a mai indicat că scăparea din demonstrația lui Heegner era una minoră.[4]

Polinomul generator de numere prime al lui Euler Modificare

Formula lui Euler pentru generarea numerelor prime este:

 

care generează numere prime distincte pentru n = 1, ..., 40, este asociată cu numărul Heegner 163 = 4 · 41 − 1.

Formula lui Euler cu   luând valorile 1,... , 40 este equivalentă cu:

 

cu   luând valorile 0,... , 39, iar Rabinowitz[5] a demonstrat că

 

generează numere prime pentru   dacă și numai dacă discriminantul cvadratic   este negativul unui număr Heegner.

(De notat că   , ca urmare   este maxim.) 1, 2, și 3 nu sunt de forma cerută, deci numerele Heegner care funcționează sunt  , dănd relații care produc numere prime pentru  [6]; aceste numere din urmă au fost numite numere norocoase Euler de François Le Lionnais.[3][7]

Numere prime consecutive Modificare

Fiind dat un număr prim p, expresia   pentru   (asta este suficient deoarece  ), se obțin numere compuseconsecutive, urmate de numere prime consecutive, dacă și numai dacă p este un număr Heegner.[8][9]

Note Modificare

  1. ^ en Conway, John Horton; Guy, Richard K. (). The Book of Numbers. Springer. p. 224. ISBN 0-387-97993-X. 
  2. ^ Șirul A003173 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  3. ^ a b Marius Coman, Enciclopedia matematică a claselor de numere întregi, Columbus, Ohio: Education Publishing, 2013, ISBN: 978-1-59973-237-4, p. 120
  4. ^ en Stark, H. M. (), „On the gap in the theorem of Heegner” (PDF), Journal of Number Theory, 1: 16–27, doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7, hdl:2027.42/33039  
  5. ^ de Georg Rabinovitch, "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
  6. ^ Șirul A014556 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  7. ^ fr Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
  8. ^ en Simple Complex Quadratic Fields, mathpages.com, accesat 2021-05-15
  9. ^ en Mollin, R. A. (). „Quadratic polynomials producing consecutive, distinct primes and class groups of complex quadratic fields” (PDF). Acta Arithmetica. 74: 17–30. 

Vezi și Modificare

Legături externe Modificare