Deschide meniul principal

În matematică, numerele complexe au apărut ca soluții ale ecuațiilor de forma , cu p număr real strict pozitiv, așa cum numerele iraționale apăruseră din necesitatea de a descrie soluții ale ecuațiilor de forma , unde q nu este un pătrat perfect.

Formal, mulțimea numerelor complexe reprezintă mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, (a,b), înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos:

,
.

Mulțimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu .

Elementul neutru al operației de adunare este iar elementul neutru al operației de înmulțire este .

Deoarece și , mulțimea numerelor reale, , poate fi privită ca submulțime a lui , identificând numărul real cu .

Numărul complex are proprietatea , adică identificat cu numărul real . Niciun număr real nu are această proprietate; de aceea el a fost denumit "numărul " („i” de la „imaginar”).

Numerele complexe de forma se numesc „numere imaginare”.

IstoricModificare

Primul matematician care menționează sumar radicali de ordinul II din numere negative exprimate ca diferență de numere intregi pozitive e Heron din Alexandria la un calcul legat de o mărime geometrică pentru trunchi de con.

Următorul matematician care descoperă prezența radicalilor din numere negative (la studiul ecuației de gradul al treilea) e Girolamo Cardano in 1545. In tratatul din 1572 Rafael Bombelli face un studiu al regulilor operațiilor cu numere complexe. Acest studiu e continuat în secolul următor de Rene Descartes și John Wallis, ulterior de Abraham de Moivre și Roger Cotes care stabilesc conexiunea dintre numere complexe și trigonometrie. Cotes in 1715 ajunge la a deduce formula lui Euler sub formă logaritmică.

Ulterior se extinde la scară extinsă printre matematicieni acceptarea reprezentării geometrice prin planul complex cu Caspar Wessel, Jean Robert Argand și Carl Friedrich Gauss.

Forma algebricăModificare

Numărul complex   este notat cu   și numit „numărul i”. Are proprietatea  .

Ținînd cont de cele de mai sus, un număr complex   poate fi scris  .

  • Forma algebrică a unui număr complex este  , unde a și b sunt numere reale.
  •   numit unitatea imaginară;  ;  .
  • Pentru un număr complex  ,   se numește partea reală a lui   și se notează  , iar   se numește partea imaginară a lui   și se notează  .
  • Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma:  ) se mai numește „număr imaginar”.
  • Egalitatea a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d.
  • Suma a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d) = (a+c) + i(b+d).
  • Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w = (c,d) = c + di este zw = (ac-bd,bc+ad) = (ac-bd) + i(bc+ad).
  • Exemple: pentru z = (2,3) = 2 + 3i și w = (1,4) = 1 + 4i avem suma z + w = (3,7) = 3 + 7i și produsul zw = (-10,11) = -10 + 11i.

Forma trigonometricăModificare

Orice număr complex a cărui formă algebrică este   poate fi scris și sub formă trigonometrică, adică sub forma  , unde   este modulul numărului complex z, iar   este argumentul acestui număr complex .

Forma trigonometrică permite sublinierea rezultatului operațiilor de înmulțire, împărțire, ridicare la un exponent intreg și extragerea de radicali.

  •  
  •    
  •  
  •   , k={0,1,2,... n-1}

Forma exponențialăModificare

Numărul complex a cărui formă trigonometrică este   poate fi scris sub forma exponențială  . Această posibilitate reiese din formula lui Euler.

Forma matricialăModificare

Mulțimea matricilor de dimensiuni   de forma:   cu   reprezintă de asemeni o formă de scriere a numerelor complexe, unde   reprezintă matricea unitate și matricea   reprezintă unitatea imaginară. Avem:

 
 
  (analog cu  )
 

Această mulțime reprezintă un subspațiu din spațiul vectorial al matricilor de dimensiuni  .

Numerele reale corespund matricilor diagonale de forma

 

Conjugatul unui număr complexModificare

  • Conjugatul complex al unui numar   este numărul complex   .
  • Proprietățile conjugatului complex :
    •  
    •  
    •  
    •      

Modulul unui număr complexModificare

  • Modulul numărului complex   este numărul real  .
  • Proprietățile modulului:
    •  
    •  
    •  
    •   (inegalitatea triunghiului)
    •  
    •  
    •  
    • Are loc identitatea   și deci   , dacă  
    •  .

Puterile și radicalii numerelor complexeModificare

Puterile lui  Modificare

    

    

Generalizare:

  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  

Puterile naturale ale numerelor complexeModificare

Pentru puteri naturale   ale numerelor complexe scrise sub forma polarǎ   avem formula de calcul:

  •  

sau, folosind forma algebricǎ a numerelor complexe  , se obține

  •  ,

unde   reprezintǎ combinǎri de   luate câte  .

Puterile complexe ale numerelor complexeModificare

Dacǎ baza   și exponentul   al puterii sunt ambele numere complexe, atunci

  •  

Radicalii numerelor complexeModificare

În ceea ce privește calculul cu radicali ai numerelor complexe, nu mai sunt valabile regulile de calcul de la numere reale nenegative pentru produse și câturi. Indiferent care din cele două valori se folosesc, i sau   se obține:

 

Pentru calculul radicalului de ordinul n al unui număr complex   se folosește formula

 ,

unde k ia valorile  . Un număr complex are deci n rădăcini complexe. Astfel, radicalul unui număr complex nu este unic determinat.

Logaritmul unui număr complexModificare

Logaritmul natural al unui număr complex nu este unic determinat. Un număr complex w reprezinta logaritmul natural al unui număr complex z, dacă

 .

Prin w se înțelege orice număr de forma   ca fiind logaritmul natural al numărului z unde  . Drept consecință se lucrează în majoritatea cazurilor cu valori principale ale numerelor complexe, adică fâșii ale planului numerelor complexe.

Valoarea principală a unui număr complex este

 

unde   și  

 .

sau, formulat altfel

 ,

unde   este valoarea principală a argumentului numărului complex.

Reprezentarea grafică a numerelor complexeModificare

 
Reprezentarea grafică a numerelor complexe

Așa cum unui număr real i se poate asocia un punct de pe o dreaptă, tot astfel, unui număr complex i se poate asocia un punct aflat într-un plan denumit planul complex. Numărului complex z = a + bi i se asociază punctul M(a,b) situat pe un cerc de rază egală ca lungime cu modulul r al numărului complex. Această asociere stă la baza diagramelor Argand.

Reprezentarea grafică pentru numere complexe a fost studiată începând cu John Wallis.

Formula lui Euler și identitatea lui EulerModificare

 

În cazul în care φ = π se obține "Identitatea lui L. Euler".[1]

 

NoteModificare

BibliografieModificare

  • Nicolae Mihăileanu, Istoria matematicii, volumul II, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1981, p. 206-208

Vezi șiModificare

Legături externeModificare