Relație de ordine totală

(Redirecționat de la Ordine totală)

O relație de ordine totală, numită și ordine liniară, este o relație de ordine având proprietatea suplimentară că orice două elemente sunt comparabile.

Definiție formalăModificare

O relație binară   pe o mulțime A este numită ordine totală dacă îndeplinește simultan condițiile:

  1.  , dacă   și  , atunci   (antisimetrie)
  2.  , dacă   și  , atunci   (tranzitivitate)
  3.  , are loc   sau  , (relația este totală)

De notat că, aplicând condiția 3 pentru x=y, rezultă   (reflexivitatea).

Exemple notabileModificare

  • Relația obișnuită de ordine între numerele naturale este o relație de ordine totală (mai mult, este bună ordonare). Tipul acestei relații se notează cu ω. (Două relații se spune că au același tip dacă sunt izomorfe.)
  • Relația obișnuită de ordine între numerele întregi.
  • Relația obișnuită de ordine între numerele întregi negative. Tipul acesteia se notează cu  
  • Relația de ordine între numerele raționale. Aceasta este o ordine densă, în sensul că între oricare două numere raționale distincte există un număr rațional distinct față de acestea. Tipul de ordine al mulțimii numerelor reale se notează η.
  • Relația de ordine între numerele reale. Aceasta este o ordine continuă, în sensul că, dacă A și B sunt două mulțimi de numere reale, având proprietatea că  , atunci există un număr real c cu proprietatea că  . Tipul de ordine al mulțimii numerelor reale se notează λ.

În schimb, următoarele relații de ordine nu sunt totale:

BibliografieModificare

Kazimierz Kuratowski, Introducere în teoria mulțimilor și în topologie. Traducere, Editura Tehnică, București, 1969.