Pavare pătrată trunchiată

Pavare pătrată trunchiată
Descriere
Tip	pavare semiregulată
Configurația vârfului	4.8.8
Configurația feței	V(4.8)4
Simbol Wythoff	2 | 4 4 4 4 2 |
Simbol Schläfli	t{4,4} tr{4,4} sau $t{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}$
Diagramă Coxeter	sau
Grup de simetrie	p4m, [4,4], (*442)
Grup de rotație	p4 [4,4]+, (442)
Poliedru dual	pavare pătrată tetrakis
Proprietăți	tranzitivă pe vârfuri
Figura vârfului

În geometrie o pavare pătrată trunchiată este o pavare semiregulată a planului euclidian cu câte un pătrat și două octogoane în fiecare vârf. Aceasta este singura pavare latură la latură cu poligoane regulate convexe care conține octogoane. Are simbolul Schläfli t{4,4}.

Alte denumiri folosite pentru acest model sunt pavare mediterană și pavare octogonală, care este adesea formată din pătrate mai mici și octogoane neregulate, la care laturile lungi și scurte alternează.

Colorare uniformă

Există două colorări uniforme distincte ale unei pavări pătrate trunchiate. (Identificarea culorilor în jurul unui vârf (4.8.8) se face cu indici: 122, 123.)

2 culori: 122

3 culori: 123

Împachetarea cercurilor

Pavarea pătrată trunchiată poate fi folosită la împachetarea cercurilor, plasând cercuri cu diametre egale în fiecare vârf. Fiecare cerc este în contact cu alte 3 cercuri din pachet (număr de contacte^⁠(d)).

Variante

Pătratele din trunchiere pot fi dimensionate alternativ. La limită, jumătate din vârfuri pot rămâne netrunchiate, conducând la o pavare pătrată șanfrenată.

O formă echilaterală oblică, cu pătratele transformate în romburi și octogoane aplatizate.

O variantă a acestui model, adesea numită model mediteran, are pătrate mai mici, aliniate pe diagonală. Alte variante aplatizează pătratele sau octogoanele.

Pavarea pitagoreică alternează pătratele mari cu cele mici și poate fi considerată ca fiind identică din punct de vedere topologic cu pavarea pătrată trunchiată. Pătratele sunt rotite cu 45°, iar octogoanele sunt distorsionate în pătrate având vârfuri și la mijlocul laturilor.

Un model de țesătură are, și el, aceeași topologie, cu octogoane și dreptunghiuri aplatizate.

p4m, (*442)		p4, (442)		p4g, (4*2)		pmm (*2222)
p4m, (*442)		p4, (442)	cmm, (2*22)			pmm (*2222)
Mediterană		Pitagoreică	Model flamand	Țesătură	Răsucit	Rectangular/rombic

Poliedre și pavări înrudite

Pavarea pătrată trunchiată este folosită într-o iluzie optică în care vârfurile trunchiate sunt divizate și colorate alternativ, părând să deformeze grila

Pavarea pătrată trunchiată este legată topologic ca parte a secvenței de poliedre uniforme și pavări cu figura vârfului 4.2n.2n, extinzându-se în planul hiperbolic:

Variante de simetrii *n42 ale pavărilor trunchiate: 4.2n.2n
Simetrie *n42 [n,4]	Sferică		Euclid.	Hiperbolică compactă				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Figuri trunchiate
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Figuri n-kis
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Fagurele cubic bitrunchiat tridimensional proiectat în plan prezintă două copii ale unei pavări trunchiate. În plan, combinația lor poate fi reprezentată printr-o pavare compusă, sau poate fi văzută ca o pavare pătrată șanfrenată.

Pavare pătrată trunchiată (prima variantă generată de fagure)

Pavare pătrată trunchiată (a doua variantă generată de fagure)

Compusul celor două pavări din stânga (Pavare pătrată șanfrenată) +

Construcția Wythoff pentru pavarea pătrată

Desenând dalele colorate cu roșu în pavarea originală, cu galben cele din vârfurile originale trunchiate și cu albastru laturile originale, toate cele 8 forme sunt distincte. Totuși, tratând fețele în mod identic, există doar trei forme topologice unice: pavarea pătrată, pavarea pătrată trunchiată și pavarea pătrată snub.

Pavări uniforme cu simetria pavării părate
Simetrie: [4,4], (*442)							[4,4]+, (442)	[4,4+], (4*2)
{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
Duale uniforme
V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Pavări înrudite în alte simetrii

Variante de pavări omnitrunchiate cu simetrie *n42: 4.8.2n
Simetrie *n42 [n,3]	Sferice		Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Figuri omnitrunchiate	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Duale omnitrunchiate	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Variante de simetrii *nn2 ale pavărilor omnitrunchiate: 4.2n.2n
Simetrie *nn2 [n,n]	Sferică		Euclidiană	Hiperbolică compactă				Paracomp.
	*222 [2,2]	*332 [3,3]	*442 [4,4]	*552 [5,5]	*662 [6,6]	*772 [7,7]	*882 [8,8]...	*∞∞2 [∞,∞]
Imagine
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Dual
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Pavare pătrată tetrakis

Pavarea pătrată tetrakis

Suprapunerea pavării pătrate tetrakis peste duala sa, pavarea pătrată trunchiată

Pavarea pătrată tetrakis este duala pavării pătrate trunchiate. Poate fi construită din pavarea pătrată prin divizarea fiecărui pătrat în patru triunghiuri isoscele dreptunghice cu unghiurile drepte în punctul central al dalelor, formând un aranjament infinit de drepte. De asemenea, se poate forma prin subîmpărțirea fiecărui pătrat al unei grile în două triunghiuri printr-o diagonală, cu diagonalele alternând ca direcție, sau prin suprapunerea a două grile pătrate, una rotită cu 45° față de cealaltă și scalată cu un factor de √2.

Bibliografie

• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]
• en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
• en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications, Inc. p. 40, ISBN: 0-486-23729-X
• en Dale Seymour, Jill Britton, Introduction to Tessellations, 1989, ISBN: 978-0866514613, pp. 50–56

Legături externe

• Materiale media legate de pavare pătrată trunchiată la Wikimedia Commons
• Eric W. Weisstein, Semiregular tessellation la MathWorld.
• Klitzing, Richard. „2D Euclidean tilings o4x4x - tosquat - O6”.