În matematică un polinom omogen este un polinom ai cărui termeni nenuli au toți același grad.[1] De exemplu este un polinom omogen de gradul 5, de două variabile; suma exponenților din fiecare termen este întotdeauna 5. Polinomul nu este omogen, deoarece suma exponenților nu este aceeași la toți termenii. Funcția definită de un polinom omogen este întotdeauna o funcție omogenă⁠(d).

O formă algebrică, sau pur și simplu formă, este o funcție definită printr-un polinom omogen. (Totuși, deoarece unii autori nu fac o deosebire clară între un polinom și funcția asociată acestuia, termenii de polinom omogen și formă sunt uneori considerați sinonimi.) O formă binară este o formă de două variabile. O „formă” este, de asemenea, o funcție definită pe un spațiu vectorial, care poate fi exprimată ca o funcție omogenă a coordonatelor peste orice bază.

Un polinom de gradul 0 este întotdeauna omogen; este pur și simplu un element al corpului sau al inelului coeficienților, numit de obicei „constantă”. O formă de gradul 1 este o formă liniară. (Formele liniare sunt definite numai pentru spațiile vectoriale finit dimensionale, prin urmare trebuie să fie distinse de funcționalele liniare, care sunt definite pentru fiecare spațiu vectorial. O „funcțională liniară” este rar folosită pentru spații vectoriale de dimensiuni finite.) O formă de gradul 2 este o formă pătratică. În geometrie, distanța euclidiană este rădăcina pătrată a unei forme pătratice.

Polinoamele omogene sunt omniprezente în matematică și fizică. (Polinoamele omogene în fizică apar adesea ca o consecință a analizei dimensionale, în care mărimile măsurate trebuie să corespundă fenomenelor din lumea reală.) Ele joacă un rol fundamental în geometria algebrică, ca varietate algebrică proiectivă⁠(d) este definită ca mulțimea zerourilor comune ale unei mulțimi de polinoame omogene.

Proprietăți

modificare

Un polinom omogen definește o funcție omogenă. Aceasta înseamnă că, dacă un polinom P de mai multe variabile este omogen de gradul d, atunci

 

pentru orice   din orice corp care conține coeficienții lui P. Invers, dacă relația de mai sus este adevărată pentru un număr infinit de   atunci polinomul este omogen de gradul d.

În particular, dacă P este omogen, atunci

 

pentru orice   Această proprietate este fundamentală în definirea unei varietăți proiective.

Orice polinom diferit de zero poate fi descompus într-un mod unic ca o sumă de polinoame omogene de diferite grade, care sunt numite componentele omogene ale polinomului.

Fiind dat un inel de polinoame⁠(d)   peste un corp (sau, mai general, un inel K, forma polinoamelor omogene de gradul d formează un spațiu vectorial (sau un modul⁠(d)), denumit în mod obișnuit   Descompunerea unică de mai sus înseamnă că   este suma directă⁠(d) a   (suma tuturor numerele întregi nenegative).

Dimensiunea spațiului vectorial   este numărul de monoame diferite de gradul d în n variabile (adică numărul maxim de termeni nenuli într-un polinom omogen de grad d în n variabile). Este egală cu coeficientul binomial

 

Un polinom omogen satisface identitatea lui Euler pentru funcțiile omogene. Adică, dacă P este un polinom omogen de grad d în variabilele   el are, oricare ar fi inelul comutativ al coeficienților,

 

unde   este derivata parțială a lui P în funcție de  

Omogenizare

modificare

Un polinom neomogen P(x1, ... , xn) poate fi omogenizat prin introducerea variabilei adiționale x0 și definind polinomul omogen, uneori notat hP:[2]

 

unde d este gradul lui P. De exemplu, dacă

 

atunci

 

Un polinom omogen poate fi deomogenizat prin adăugarea variabilei suplimentare x0 = 1. Adică

 

Bibliografie

modificare
  • en Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal (). Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 185 (ed. 2nd). Springer. ISBN 978-0-387-20733-9. 

Legături externe

modificare