Teorema bisectoarei

În geometrie, teorema bisectoarei exprimă o relație între lungimile segmentelor determinate de bisectoarea unui unghi al triunghiului pe latura pe care cade și cele ale laturilor acelui unghi.

În această diagramă, BD:DC = BA:CA.

EnunțModificare

Într-un triunghi ABC, bisectoarea unghiului A determină pe latura opusă (BC) segmente proporționale cu laturile triunghiului:  

Din scrierea relației algebrice se poate remarca o proprietate mnemotehnică a raportului lungimilor de segmente: înlocuirea punctului D cu A (și invers) nu schimbă valoarea raportului.

Propoziții înruditeModificare

  • Reciproca teoremei bisectoarei: Dacă un punct D interior laturii BC o împarte pe aceasta în segmente ce respectă relația  , atunci AD este bisectoarea unghiului A.
  • Teorema bisectoarei externe: Bisectoarea externă a unghiului A (dreapta pe care se află bisectoarele ambelor unghiuri externe BAC' și B'AC) determină pe dreapta BC (în exteriorul segmentului BC) punctul E pentru care are loc relația:  . Dacă bisectoarea externă este paralelă cu BC, un astfel de punct nu există.

DemonstrațieModificare

Folosind numere complexeModificare

Punctelor A și D pot fi asociate numerele complexe 0 și 1. Atunci numerele complexe b si c vor fi asociate punctelor B și C astfel:
b = AB.( cos(θ) + i.sin(θ) ),
c = AC.( cos(θ) - i.sin(θ) ) ; aici am folosit faptul că AD este bisectoare.
Un punct de pe segmentul BC va avea numărul complex asociat:
λ.b + (1 - λ).c = ceva real + i.sin(θ).[ λ.AC + λ.AB - AC ] unde λ este un număr real care satisface:
λ = DC / ( BD + DC )
Cerând ca acest punct de pe segmentul BC să se afle și pe bisectoare, partea imaginară a numărului complex asociat trebuie să fie nulă, ceea ce impune ca:
λ = AC / ( AB + AC )
Eliminând λ între cele două ecuații precedente va rezulta egalitatea cerută.

Vezi șiModificare

Legături externeModificare