Triacontaedru rombic

poliedru Catalan
Triacontaedru rombic
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe30 romburi
Laturi (muchii)60
Vârfuri32
χ2
Configurația fețeiV3.5.3.5
Simbol ConwayjD
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieIh, H3, [5,3], (*532)
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532)
Arie≈ 26,833 a2   (a = latura)
Volum≈ 12,311 a3   (a = latura)
Unghi diedru144°
Poliedru dualIcosidodecaedru
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe și pe laturi, zonoedru
Desfășurată

În geometrie un triacontaedru rombic (numit uneori, pe scurt, doar triacontaedru) este un poliedru Catalan cu 30 de fețe rombice, cel mai cunoscut poliedru cu astfel de fețe. Are două tipuri de vârfuri. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul triacontaedrului rombic este icosidodecaedrul. Este tranzitiv pe fețe și pe laturi. Este un zonoedru.

O față a triacontaedrului rombic: lungimile diagonalelor sunt în raportul de aur
Dual: Icosidodecaedru

Raportul dintre diagonala lungă și cea scurtă a fețelor este egal cu secțiunea de aur, φ, astfel încât unghiurile ascuțite de pe fiecare au 2 tan−1(1/φ) = tan−1(2), adică aproximativ 63,43°. Un astfel de romb este un romb de aur.

Fiind dualul unui poliedru arhimedic, triacontaedrul rombic este tranzitiv pe fețe, adică grupul de simetrie al poliedrului acționează tranzitiv asupra setului de fețe. Aceasta înseamnă că pentru oricare două fețe, A și B, există o rotație sau reflexie care îl face să ocupe aceeași regiune a spațiului în urma mutării feței A pe fața B.

Triacontaedrul rombic este oarecum particular prin faptul că este unul dintre cele nouă poliedre convexe tranzitive pe laturi, celelalte fiind cele cinci poliedre platonice, cuboctaedrul, icosidodecaedrul și dodecaedrul rombic.

Triacontaedrul rombic este interesant și prin faptul că vârfurile sale au același aranjament cu alte patru poliedre platonice. Vârfurile formează zece tetraedre, cinci cuburi, un icosaedru și un dodecaedru. Centrele fețelor formează cinci octaedre.

Poate fi construit dintr-un octaedru trunchiat divizând fețele hexagonale în 3 romburi:

Un triacontaedru rombic topologic într-un octaedru trunchiat

Coordonate carteziene modificare

Fie   secțiunea de aur. Cele 12 puncte date de   și permutările ciclice ale acestor coordonate sunt vârfurile unui icosaedru regulat. Dualul său, dodecaedrul regulat, ale cărui laturi le intersectează pe cele ale icosaedrului în unghi drept, are ca vârfuri cele 8 puncte   împreună cu cele 12 puncte   și permutările ciclice ale acestora. Toate cele 32 de puncte împreună sunt vârfurile unui triacontaedru rombic centrat în origine. Lungimea laturilor sale este  . Fețele sale au diagonale cu lungimile   și  .

Dimensiuni modificare

Dacă lungimea laturii unui triacontaedru rombic este a, aria suprafeței, volumul, raza unei sfere înscrise (tangentă la fiecare dintre fețele triacontaedrului rombic) și raza mediană, care atinge mijlocul fiecărei laturi sunt:[1]

 

unde φ este secțiunea de aur.

Sfera mediană este tangentă la fețe în centroizii lor. Diagonalele scurte formează laturile dodecaedrului regulat înscris, în timp ce diagonalele lungi formează laturile icosaedrului înscris.

   
Forma ascuțită
Forma obtuză

Divizare modificare

Triacontaedrul rombic poate fi divizat în 20 de romboedre de aur: 10 ascuțite și 10 obtuze.[2][3]

Proiecții ortogonale modificare

Triacontaedrul rombic are patru poziții de simetrie, două centrate pe vârfuri, una pe fețe și una pe mijloacele laturilor. În proiecția 10 apar ambele forme de romburi, care împreună produc pavarea Penrose neperiodică.

Proiecții ortogonale
Simetrie
proiectivă
[2] [2] [6] [10]
Imagine        
Imagine
duală
       

Stelări modificare

   
Animație cu stelarea triacontaedrului rombic

Triacontaedrul are 227 de stelări complete.[4][5] O altă stelare a triacontaedrului rombic este compusul de cinci octaedre. Numărul total de stelări ale triacontaedrului rombic este de 358 833 097.

Poliedre înrudite modificare

Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
               
                                               
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Acest poliedru este o parte dintr-o succesiune de poliedre rombice și pavări cu simetria [n,3] din grupul Coxeter. Cubul poate fi considerat un hexaedru rombic unde romburile sunt pătrate.

Variante de pavări cvasiregulate duale: V(3.n)2
*n32 Sferice Euclidiană Hiperbolice
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Pavare              
Conf. V(3.3)2 V(3.4)2 V(3.5)2 V(3.6)2 V(3.7)2 V(3.8)2 V(3.∞)2

Note modificare

  1. ^ en Stephen Wolfram, rhombic triacontahedron from Wolfram Alpha. Retrieved 7 January 2013.
  2. ^ en „How to make golden rhombohedra out of paper”. 
  3. ^ en Dissection of the rhombic triacontahedron
  4. ^ en Pawley, G. S. (). „The 227 triacontahedra”. Geometriae Dedicata. Kluwer Academic Publishers. 4 (2–4): 221–232. doi:10.1007/BF00148756. ISSN 1572-9168. 
  5. ^ en Messer, P. W. (). „Stellations of the Rhombic Triacontahedron and Beyond”. Structural Topology. 21: 25–46. 

Bibliografie modificare

Legături externe modificare