Axiomele lui Birkhoff

În 1932, G. D. Birkhoff a creat un set de patru axiome ale geometriei euclidiene în plan, denumite deseori ca axiomele lui Birkhoff.^[1] Aceste axiome se bazează pe o geometrie de bază, care poate fi confirmată experimental cu o riglă Vernier și un raportor. Întrucât axiomele se bazează pe numerele reale, abordarea este similară cu o introducere bazată pe model în geometria euclidiană. Este o simplificare a sistemului axiomatic hilbertian.

Sistemul axiomelor lui Birkhoff a fost utilizat în manualul de învățământ secundar scris de Birkhoff și Beatley.^[2] Aceste axiome au fost, de asemenea, modificate de School Mathematics Study Group pentru a oferi un nou standard pentru predarea geometriei în liceele din SUA, cunoscut sub numele de axiomele SMSG. Câteva alte manuale despre bazele geometriei folosesc variante ale axiomelor lui Birkhoff.^[3]

În România, axiomele lui Birkhoff sunt baza modului de predare a geometriei plane din clasa a VI-a.^[4]

Axiomele

Distanța dintre două puncte $A$ și $B$ este notată cu $d (A, B)$ , iar unghiul format din trei puncte $A, B, C$ este notat cu $∠ ABC$ .

Axioma I: Axioma măsurii unei drepte Mulțimea de puncte ${A, B, ...$ } aflată pe orice dreaptă poate fi pusă într-o corespondență 1:1 cu numerele reale ${a, b, ...$ } astfel încât $| b - a | = d (A, B)$ pentru orice puncte $A$ și $B$ .

Axioma II: Axioma punct-dreaptă. Există o singură dreaptă $𝒹$ care conține oricare două puncte distincte $P$ și $Q$ .

Axioma III: Axioma măsurii unghiului. Mulțimea de raze ${ℓ, m, n, ...$ } care trec prin oricare punct $O$ pot fi puse în corespondență 1:1 cu numerele reale $a (mod 2 π)$ , astfel încât dacă $A$ și $B$ sunt puncte (diferite de $O$ ) de pe $ℓ$ , respectiv $m$ , diferența $a m - a ℓ (mod 2π)$ a numerelor asociate dreptelor $ℓ$ și $m$ este $∠ AOB$ . Mai mult, dacă punctul $B$ de pe $m$ variază continuu într-o dreaptă $r$ care nu conține vârful $O$ , numărul $a m$ variază continuu și el.

Axioma IV: Axioma asemănării. Fiind date două triunghiuri $ABC$ și $A'B'C'$ și o constantă $k > 0$ , astfel încât $d (A', B') = kd (A, B), d (A', C') = kd (A, C)$ și $∠ B'A'C' = \pm∠ BAC$ , atunci $d (B', C') = kd (B, C), ∠ C'B'A' = \pm∠ CBA$ și $∠ A'C'B' = \pm∠ ACB$ .

Note

^ Birkhoff, George David (1932), „A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)”, Annals of Mathematics, 33, pp. 329–345, doi:10.2307/1968336
^ Birkhoff, George David; Beatley, Ralph (2000) [first edition, 1940], Basic Geometry (ed. 3rd), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5
^ Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981), The non-Euclidean, hyperbolic plane: its structure and consistency, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9
^ Constantinescu, Oana (21 martie 2014). „Structura Matematicii” (PDF). Facultatea de Matematică – Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași. Accesat în 5 ianuarie 2020.

Vezi și

[1] Birkhoff, George David (1932), „A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)”, Annals of Mathematics, 33, pp. 329–345, doi:10.2307/1968336

[2] Birkhoff, George David; Beatley, Ralph (2000) [first edition, 1940], Basic Geometry (ed. 3rd), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5

[3] Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981), The non-Euclidean, hyperbolic plane: its structure and consistency, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9

[4] Constantinescu, Oana (21 martie 2014). „Structura Matematicii” (PDF). Facultatea de Matematică – Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași. Accesat în 5 ianuarie 2020.

[1]

[2]

[3]

[4]