Coeficient de transformare adiabatică

Coeficientul de transformare adiabatică pentru diferite gaze^[1]^[2]
temp.	gazul	γ	temp	gazul	γ	temp.	gazul	γ
−181 °C	H₂	1,597	200 °C	Aer uscat	1,398	20 °C	NO	1,400
−76 °C		1,453	400 °C		1,393	20 °C	N₂O	1,310
20 °C		1,410	1000 °C		1,365	−181 °C	N₂	1,470
100 °C		1,404	2000 °C		1,088	15 °C	N₂	1,404
400 °C		1,387	0 °C	CO₂	1,310	20 °C	Cl₂	1,340
1000 °C		1,358	20 °C		1,300	−115 °C	CH₄	1,410
2000 °C		1,318	100 °C		1,281	−74 °C		1,350
20 °C	He	1,660	400 °C		1,235	20 °C		1,320
20 °C	H₂O	1,330	1000 °C		1,195	15 °C	NH₃	1,310
100 °C		1,324	20 °C	CO	1,400	19 °C	Ne	1,640
200 °C		1,310	−181 °C	O₂	1,450	19 °C	Xe	1,660
−180 °C	Ar	1,760	−76 °C		1,415	19 °C	Kr	1,680
20 °C	Ar	1,670	20 °C		1,400	15 °C	SO₂	1,290
0 °C	Aer uscat	1,403	100 °C		1,399	360 °C	Hg	1,670
20 °C		1,400	200 °C		1,397	15 °C	C₂H₆	1,220
100 °C		1,401	400 °C		1,394	16 °C	C₃H₈	1,130

Coeficientul de transformare adiabatică este raportul dintre capacitatea termică masică la presiune constantă, $c_{p}\,,$ și capacitatea termică masică la volum constant, $c_{v}\,.$ .^[3]

În literatura de specialitate această noțiune mai este întâlnită sub numele de exponent adiabatic,^[4] coeficient adiabatic,^[5] sau indice izentropic.^[6]

În lucrările de fizică coeficientul de transformare adiabatică este notat de obicei cu $\gamma \,$ ^[7] iar în cele tehnice cu $k\,$ ^[8] ambele notații fiind acceptate de STAS 1647-85. Înainte de apariția standardului, sub influența lucrărilor de chimie și a bibliografiei în limba germană, se folosea notația $\kappa \,$ ,^[4]^[9]

\gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}

În locul capacităților termice masice se pot folosi capacitățile termice molare, $C_{p}\,,$ respectiv $C_{v}\,,$ ) relația devenind:

\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{v}}}

Experimente

Pentru evidențierea fenomenelor care definesc coeficientul de transformare adiabatică se poate face următorul experiment:

Un cilindru prevăzut cu un piston conține aer. La început presiunea din interiorul cilindrului este egală cu cea din exteriorul său. Ținând pistonul fix, se încălzește aerul din cilindru până la o temperatură oarecare, dată. Deoarece pistonul nu se poate mișca, în timpul încălzirii volumul aerului din cilindru va rămâne constant, iar presiunea din interiorul cilindrului va crește. Se oprește încălzirea și se eliberează pistonul. Acesta se va deplasa spre exteriorul cilindrului, destinderea aerului având loc fără schimb de căldură cu exteriorul, adică efectuându-se printr-o transformare adiabatică. Prin destindere aerul efectuează lucru mecanic, ca urmare se răcește. Experimental se constată că, lăsând pistonul liber, pentru a readuce aerul la temperatura dată acesta trebuie reîncălzit, fiind necesară o cantitate de căldură cu circa 40 % mai mare decât cea din primul caz. Cantitatea de căldură introdusă ținând pistonul fix a fost proporțională cu $c_{v}\,$ , iar cea introdusă lăsând pistonul liber a fost proporțională cu $c_{p}\,$ . Ca urmare, în acest exemplu coeficientul de transformare adiabatică este de circa 1,4.

Relația pentru gazul perfect

Pentru un gaz perfect (nu și pentru un gaz ideal), capacitățile termice masice sunt constante cu temperatura. Ținând cont că entalpia are expresia $h=c_{p}t\,$ iar energia internă $u=c_{v}t\,$ , se poate afirma că coeficientul de transformare adiabatică este raportul dintre entalpie și energia internă:

\gamma ={\frac {h}{u}}

În continuare, capacitățile termice masice se pot exprima în funcție de coeficientul de transformare adiabatică ( $\gamma \,$ ) și de constanta caracteristică a gazului^[10] ( $R_{M}\,$ ):

c_{p}={\frac {\gamma R_{M}}{\gamma -1}}\qquad {\mbox{și}}\qquad c_{v}={\frac {R_{M}}{\gamma -1}}

Dacă nu se dispune decât de un set de tabele cu capacitățile termice masice (de obicei $c_{p}\,$ ^[11]) celelalte se pot calcula cu relația lui Robert Mayer:

c_{v}=c_{p}-R_{m}\,

unde constanta caracteristică a gazului se găsește tot în tabele,^[11] sau se poate calcula cu relația:

R_{m}={\frac {R}{M}}

unde $R\,$ este constanta universală a gazelor,^[10] iar $M\,$ este masa molară a gazului respectiv.

La nivel molar, relațiile sunt:

C_{v}=C_{p}-R\,

respectiv:

C_{p}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\qquad {\mbox{și}}\qquad C_{v}={\frac {R}{\gamma -1}}

Relația cu gradele de libertate

Pentru gaze perfecte coeficientul de transformare adiabatică poate fi calculat din gradele de libertate ( $i\,$ ) ale moleculei cu relația:

\gamma \ ={\frac {i+2}{i}}\qquad {\mbox{sau}}\qquad i={\frac {2}{\gamma -1}}

Se observă că pentru un gaz monoatomic, care are trei grade de libertate:

\gamma \ ={\frac {5}{3}}\approx 1,67

,

în timp ce pentru un gaz biatomic, care are cinci grade de libertate:

\gamma ={\frac {7}{5}}=1,4

,

iar pentru un gaz poliatomic, care are șase grade de libertate:

\gamma ={\frac {8}{6}}={\frac {4}{3}}\approx 1,33

.

Exemplu: aerul este un amestec format aproape numai din gaze biatomice, ~78 % azot (N₂) și ~21 % oxigen (O₂), și, în condiții normale se comportă aproape ca un gaz perfect. Ca urmare, valoarea teoretică a coeficientului de transformare adiabatică pentru aer este 1,4 , valoare care corespunde bine cu cea măsurată experimental, de circa 1,403 (v. tabelul).

Relația pentru gazul ideal și gazele reale

În cazul gazelor reale (și teoria admite și pentru gazul ideal), ambele $C_{p}\,$ și $C_{v}\,$ cresc cu temperatura. În acest caz coeficientul de transformare adiabatică poate să nu mai fie constant cu temperatura.

Și pentru gazul ideal este valabilă relația lui Robert Mayer, însă aceasta nu garantează că coeficientul de transformare adiabatică va fi constant cu temperatura.

Expresii termodinamice

Valorile bazate pe aproximații, în special pe relația lui Robert Mayer, în unele cazuri, de exemplu la curgerea prin tuburi, pot să nu fie suficient de exacte. În aceste cazuri se recomandă folosirea valorilor experimentale.

O valoare riguros exactă a raportului ${\frac {C_{p}}{C_{v}}}$ poate fi calculată determinând $C_{v}\,$ din relația:

C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}}}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial p}{\partial V}}}

Valorile $C_{p}\,$ se găsesc de obicei în tabele, însă valorile $C_{v}\,$ trebuie calculate din relația de mai sus.

Transformarea adiabatică

Coeficientul de transformare adiabatică permite stabilirea unei importante relații pentru procese izentropice (sau izoentropice^[3]) cvasistatice, reversibile, adiabatice, la comprimarea unui gaz ideal și perfect caloric. Sub formă diferențială relația este:^[12]

\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{q}=-\gamma \left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}

care prin integrare duce la expresia:

pV^{\gamma }={\text{constant}}\,

Forma diferențială justifică denumirea de „coeficient” a noțiunii, iar cea integrată denumirea de „exponent”, însă denumirea de „indice” nu are nicio justificare.

Folosirea termenului „izentropic” în loc de „adiabatic” în definirea noțiunii este valabilă doar pentru gazul perfect, unde transformarea izentropică este identică cu transformarea adiabatică.

Vezi și

Note

^ en White, Frank M. Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
^ en Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. p. 1524
^ ^a ^b STAS 1647-85 Căldură. Terminologie și simboluri
^ ^a ^b Bazil Popa ș.a. Manualul inginerului termotehnician, vol I, București: Editura Tehnică, 1986, p. 151
^ Universitatea Politehnica din București, Departamentul de Fizică, Laboratorul de Termodinamică și Fizică Asistată BN 119 Determinarea coeficientului adiabatic γ = C_p / C_v al aerului utilizând metoda Clément-Desormes Arhivat în 12 iunie 2009, la Wayback Machine., pub.ro, accesat 2011-01-17
^ Moisil, p. 76
^ Moisil, p. 74
^ en Fox, R., A. McDonald, P. Pritchard Introduction to Fluid Mechanics 6th ed. Wiley
^ Vlădea, p. 121
^ ^a ^b STAS 7109-86 Termotehnica construcțiilor. Terminologie, simboluri și unități de măsură
^ ^a ^b Kuzman Ražnjević Tabele și diagrame termodinamice, București: Editura Tehnică, 1978
^ Vlădea, p. 126

Bibliografie

George C. Moisil, Termodinamica, București: Editura Academiei RSR, 1988
Ioan Vlădea, Tratat de termodinamică tehnică și transmiterea căldurii, București: Editura Didactică și Pedagogică, 1974

Portal Fizică

[1] White, Frank M. Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill

[2] Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. p. 1524

[S1647-3] STAS 1647-85 Căldură. Terminologie și simboluri

[MIT86-4] Bazil Popa ș.a. Manualul inginerului termotehnician, vol I, București: Editura Tehnică, 1986, p. 151

[PUB-5] Universitatea Politehnica din București, Departamentul de Fizică, Laboratorul de Termodinamică și Fizică Asistată BN 119 Determinarea coeficientului adiabatic γ = C_p / C_v al aerului utilizând metoda Clément-Desormes Arhivat în 12 iunie 2009, la Wayback Machine., pub.ro, accesat 2011-01-17

[M76-6] Moisil, p. 76

[M74-7] Moisil, p. 74

[8] Fox, R., A. McDonald, P. Pritchard Introduction to Fluid Mechanics 6th ed. Wiley

[9] Vlădea, p. 121

[S7109-10] STAS 7109-86 Termotehnica construcțiilor. Terminologie, simboluri și unități de măsură

[KR-11] Kuzman Ražnjević Tabele și diagrame termodinamice, București: Editura Tehnică, 1978

[12] Vlădea, p. 126

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]