Descriere fișier

Descriere01-Dreizehneck-3.svg	Deutsch: Dreizehneck, Näherungskonstruktion English: Tridecagon, approximate construction
Dată	18 martie 2016
Sursă	Operă proprie
Autor	Petrus3743
SVG dezvoltare InfoField	Sursa acestui fișier SVG este validă.   Această imagine vectorială a fost creată cu GeoGebra de Petrus3743   This SVG trigonometry uses the path text method.

Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis

1. Kreis um ${\displaystyle M}$ mit beliebigem Radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$.
2. Gerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle E_{1}}$.
3. Gerade senkrecht zu ${\displaystyle {\overline {AE_{1}}}}$ durch ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$.
4. Strecken ${\displaystyle {\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}}$ eintragen.
5. Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle D}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle O}$.
6. Strecke ${\displaystyle {\overline {DJ}}={\overline {JA}}}$, Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle J}$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt ${\displaystyle L}$, dessen Abstand zu Punkt ${\displaystyle E_{1}}$ ist gleich der Strecke ${\displaystyle {\overline {DI}}}$. In der Darstellung beschrieben als ${\displaystyle |E_{1}L|={\overline {DI}}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von ${\displaystyle N}$ als ${\displaystyle |CN|={\overline {IJ}}}$ bis ${\displaystyle Y}$ als ${\displaystyle |CY|={\overline {CX}}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab ${\displaystyle Y}$ durch ${\displaystyle W}$ bis sie die äußere Kreislinie in ${\displaystyle Z}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt ${\displaystyle Z}$ durch ${\displaystyle V}$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in ${\displaystyle A_{1}}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von ${\displaystyle B_{1}}$ bis ${\displaystyle J_{1}}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die Verbindung von ${\displaystyle J_{1}}$ mit ${\displaystyle M}$ schneidet den innersten Kreis in ${\displaystyle E_{2}}$, als zweiten Eckpunkt des entstehenden Dreizehnecks.
10. Trage auf den Umkreis ab dem Eckpunkt ${\displaystyle E_{2}}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}$, sie entspricht der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des Dreizehnecks, elfmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

• Somit ergibt sich:

Eine Näherung des regelmäßigen Dreizehnecks E₁ bis E₁₃.

Ergebnis

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

• Konstruierte Seitenlänge des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) ${\displaystyle a=0{,}478631328575115\;[LE]}$
• Seitenlänge des Dreizehnecks ${\displaystyle a_{SOLL}=r\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)=0{,}478631328575115\ldots \;[LE]}$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler ${\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=0{,}0\;[LE]}$

• Konstruierter Zentriwinkel des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige signifikante 13 Nachkommastellen, gerundet) ${\displaystyle \mu =27{,}6923076923077^{\circ }}$
• Zentriwinkel des Dreizehnecks ${\displaystyle \mu _{SOLL}=\left({\frac {360^{\circ }}{13}}\right)=27{,}{\overline {692307}}^{\circ }}$
• Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:

Bis zu den gerundet angezeigten signifikanten 13 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler ${\displaystyle F_{\mu }=\mu _{SOLL}-\mu =0^{\circ }}$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Proximity construction for a given radius

1. Circle around ${\displaystyle M}$ with any radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$.
2. Straight line through ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle M}$ yields intersection ${\displaystyle E_{1}}$.
3. Straight line perpendicular to ${\displaystyle {\overline {AE_{1}}}}$ through ${\displaystyle M}$ yields intersections ${\displaystyle B}$ and ${\displaystyle C}$.
4. Line segments ${\displaystyle {\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}}$.
5. Circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle D}$ yields intersections ${\displaystyle K}$ and ${\displaystyle O}$.
6. Line segments ${\displaystyle {\overline {DJ}}={\overline {JA}}}$, circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle J}$.
7. Determining the function points:

It starts with point ${\displaystyle L}$, whose distance to point ${\displaystyle E_{1}}$ is equal to the segment ${\displaystyle {\overline {DI}}}$. Described in the representation as ${\displaystyle |E_{1}L|={\overline {DI}}}$. In this way, the other function points from ${\displaystyle N}$ as ${\displaystyle |CN|={\overline {IJ}}}$ to ${\displaystyle Y}$ as ${\displaystyle |CY|={\overline {CX}}}$ (sequence see short description in the representation).

8. Drawing in the circle secant:

It starts with the secant from ${\displaystyle Y}$ through ${\displaystyle W}$ until it intersects the outer circle at ${\displaystyle Z}$. The next secant runs from the last received intersection ${\displaystyle Z}$ through ${\displaystyle V}$ until it also intersects the outer circle line in ${\displaystyle A_{1}}$. In this way, the points from ${\displaystyle B_{1}}$ to ${\displaystyle J_{1}}$ (order can be seen from the progression of the secants) are determined.

9. The connection of ${\displaystyle J_{1}}$ with ${\displaystyle M}$ intersects the innermost circle in ${\displaystyle E_{2}}$, as the second vertex of the tridecagon.
10. Draw on the circumcircle from the vertex ${\displaystyle E_{2}}$ the line segment ${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}$, it corresponds to the side length ${\displaystyle a}$ of the tridecagon, eleven times counterclockwise and finally connect the adjacent vertices.

• Thus, the result is:

An approximation of the regular tridecagon ${\displaystyle E_{1}}$ to ${\displaystyle E_{13}}$.

Result

Based on the unit circle r = 1 [unit of length]

• Constructed side length of tridecagon in GeoGebra (display max 15 decimal places) ${\displaystyle a=0.478631328575115\;[unit\;of\;length]}$
• Side length of the tridecagon ${\displaystyle a_{target}=r\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)=0.478631328575115\ldots \;[unit\;of\;length]}$
• Absolute error of the constructed side length:

Up to the max. displayed 15 decimal places is the absolute error ${\displaystyle F_{a}=a-a_{target}=0.0\;[unit\;of\;length]}$

• Constructed central angle of the tridecagon in GeoGebra (display significant 13 decimal places, rounded) ${\displaystyle \mu =27.6923076923077^{\circ }}$
• Central angle of the tridecagon ${\displaystyle \mu _{target}=\left({\frac {360^{\circ }}{13}}\right)=27.{\overline {692307}}^{\circ }}$
• Absolute angular error of the constructed central angle:

Up to the rounded significant 13 decimal places is the absolute error ${\displaystyle F_{\mu }=\mu -\mu _{target}=0.0^{\circ }}$

Example to illustrate the error

At a circumscribed circle radius r = 1 billion km (the light would need about 55 min for this distance), the absolute error of the side length constructed would be < 1 mm.

Weblinks

• GeoGebra Dreizehneck (Tridecagon)
• Wikibooks: Dreizehneck mit Konstruktionsbeschreibung, Tridecagon with construction description

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