Formă simplectică

În geometria diferențială, peste un spațiu fibrat vectorial real $E\rightarrow P\,$, forma simplectică $\omega \,$ este dată de o familie de forme biliniare nedegenerate $\omega _{x}\,$ peste spațiul fibrat $E_{x}\,$, punctul $x\in P\,$ apaținând lui $C^{\infty }$. Mai riguros, o formă simplectică este o secțiune globală $x\mapsto \omega _{x}\,$ de $E^{*}\wedge E^{*}\rightarrow P\,$, care este în toate punctele nedegenerată.

Totuși, peste o mulțime diferențiabilă $M\,$, o formă simplectică $\omega \,$ este o o formă diferențiabilă de ordinul 2 nedegenerată și închisă. Mai explicit, impunem condițiile următoare:

• Forma $\omega \,$ este nedegenerată dacă în toate punctele $x\,$, forma biliniară antisimetrică $\omega _{x}\,$ este nedegenerată.
• Forma $\omega \,$ este închisă, în sensul lui : $d\omega \,$.

În particular, $(TM,\omega )\,$ este un spațiu fibrat simplectic, dar definiția unei forme simplectice nu se limitează doar la acestă simplă proprietate. Condiția de închidere implică unicitatea ei locală furnizată de teorema lui Darboux.

Exemple

• Dacă $F\rightarrow P\,$ este un spațiu fibrat vectorial, atunci există o formă simplectică pe spațiul fibrat vectorial $E=F\oplus F^{*}\,$ dat de:

$\omega \left[f_{1}\oplus f_{1}^{*},f_{2}\oplus f_{2}^{*}\right]=f_{1}^{*}(f_{2})-f_{2}^{*}(f_{1})$

Acest prim exemplu arată naturalețea formelor simplectice. Contrar metricii riemanniene, existența lor nu este bine înțeleasă, dar cel puțin au venit în mod natural.

• Dacă $(M,\omega )\,$ este o mulțime simplectică de dimensiune $2n\,$, iar $P\,$ este o submulțime diferențiabilă din $M\,$, atunci:
  • Spațiul fibrat tangent la $M\,$ este limitat la un spațiu fibrat de rang $2n\,$ peste $P\,$, notat $T_{P}M\rightarrow P\,$, iar $(T_{P}M,\omega )\,$ este un spațiu fibrat simplectic.
  • Dacă în toate punctele x ale lui P, forma biliniară $\omega _{x}\,$ este nedegenerată cu restricția la spațiul tangent $T_{x}P\,$, atunci, $\iota ^{*}\omega \,$ este o formă simplectică asupra lui P.

Existența

Existența formelor simplectice pe o mulțime diferențiabilă este încă o problemă deschisă.