Formă simplectică

În geometria diferențială, peste un spațiu fibrat vectorial real , forma simplectică este dată de o familie de forme biliniare nedegenerate peste spațiul fibrat , punctul apaținând lui . Mai riguros, o formă simplectică este o secțiune globală de , care este în toate punctele nedegenerată.

Cu toate acestea, peste o mulțime diferențiabilă , o formă simplectică este o o formă diferențiabilă de ordinul 2 nedegenerată și închisă. Mai explicit, impunem condițiile următoare:

  • Forma este nedegenerată dacă în toate punctele , forma biliniară antisimetrică este nedegenerată.
  • Forma este închisă, în sensul lui : .

În particular, este un spațiu fibrat simplectic, dar definiția unei forme simplectice nu se limitează doar la acestă simplă proprietate. Condiția de închidere implică unicitatea ei locală furnizată de teorema lui Darboux.


ExempleModificare

  • Dacă   este un spațiu fibrat vectorial, atunci există o formă simplectică pe spațiul fibrat vectorial   dat de:
 

Acest prim exemplu arată naturalețea formelor simplectice. Contrar metricii riemanniene, existența lor nu este bine înțeleasă, dar cel puțin au venit în mod natural.

  • Dacă   este o mulțime simplectică de dimensiune  , iar   este o submulțime diferențiabilă din  , atunci:
    • Spațiul fibrat tangent la   este limitat la un spațiu fibrat de rang   peste  , notat  , iar   este un spațiu fibrat simplectic.
    • Dacă în toate punctele x ale lui P, forma biliniară   este nedegenerată cu restricția la spațiul tangent  , atunci,   este o formă simplectică asupra lui P.


ExistențaModificare

Existența formelor simplectice pe o mulțime diferențiabilă este încă o problemă deschisă.