Vom considera pentru început funcții definite pe un interval deschis mărginit
cu
.
Definiție. Funcția
se zice funcție în scară (sau etajată) pe intervalul
, dacă există o diviziune
a intervalului
încât
este constantă pe fiecare dintre intervalele
Să notăm cu
mulțimea funcțiilor în scară pe intervalul
. Din definiția precedentă rezultă că dacă
atunci există
încât
unde
se notează funcția caracteristică a intervalului
, adică funcția.
Remarcăm că în punctele
, Tabela
funcția s poate fi definită în mod arbitrar.
Remarcă. Din definiția de mai sus rezultă că orice funcție în scară este continuă aproape peste tot(d) (căci mulțimea punctelor sale de discontinuitate este finită).
Definiție 2. Numărul real
se numește integrala Lebesque a funcției în scară
pe intervalul
.
În continuare vom mai nota
Exemplu. Funcția
este o funcție în scară pe
și
Facem notațiile :
.
Teoremă. Dacă
sunt funcții în scară pe
și
atunci
și
;
;
;
și