Funcție Kelvin

În matematică, funcțiile Kelvin, notate Ber_ν(x) și Bei_ν(x), sunt partea reală și respectiv partea imaginară a funcției:

$J_{\nu }(xe^{3\pi i/4})\,\!$

unde x este real, iar $J_{\nu }(z)\,\!$ este funcția Bessel de prima speță și de ordinul ν.

Similar, funcțiile Ker_ν(x) și Kei_ν(x) sunt respectiv partea reală si partea imaginară a funcției:

$K_{\nu }(xe^{3\pi i/4})\,\!$

unde $K_{\nu }(z)\,$ este funcția Bessel modificată de speța a II-a și de ordinul ν.

Deși funcțiile Kelvin sunt definite ca parte reală si imaginară ale funcțiilor Bessel cu x real, ele pot fi prelungite analitic pentru argumente complexe x e^i φ, φ ∈ [0, 2π). Cu excepția funcțiilor Ber_n(x) și Bei_n(x) pentru n întreg, funcțiile Kelvin au un punct de ramificație în x = 0.

Ber(x)

Ber(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm {Ber} (x)/e^{x/{\sqrt {2}}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

Pentru n întreg, Ber_n(x) are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm {Ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}$

unde $\Gamma (z)$ este funcția Gamma.

Cazul special Ber$_{0}(x)$, în mod normal notat cu Ber$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm {Ber} (x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}(x/2)^{4k}}{[(2k)!]^{2}}}$

iar dezvoltarea asimptotică este

$\mathrm {Ber} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1}(x)\cos \alpha +g_{1}(x)\sin \alpha ]-{\frac {\mathrm {Kei} (x)}{\pi }}$,

unde $\alpha =x/{\sqrt {2}}-\pi /8$, iar

$f_{1}(x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}$

$g_{1}(x)=\sum _{k\geq 1}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}$

Bei(x)

Bei(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm {Bei} (x)/e^{x/{\sqrt {2}}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

pentru $n$ întreg, Bei$_{n}(x)$ are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm {Bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}$

unde $\Gamma (z)$ este funcția Gamma. Cazul special Bei$_{0}(x)$, în mod normal notat cu Bei$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm {Bei} (x)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}(x/2)^{4k+2}}{[(2k+1)!]^{2}}}$

iar dezvoltarea asimptotică este:

$\mathrm {Bei} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1}(x)\sin \alpha +g_{1}(x)\cos \alpha ]-{\frac {\mathrm {Ker} (x)}{\pi }}$,

unde $\alpha$, $f_{1}(x)$ și $g_{1}(x)$ sunt definite ca cele pentru Ber$(x)$.

Ker(x)

Pentru n întreg, Ker_n(x) are următoarea dezvoltare în serie:

${\begin{aligned}\mathrm {Ker} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} _{n}(x)\end{aligned}}$

Ker(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm {Ker} (x)e^{x/{\sqrt {2}}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

unde $\psi (z)$ este funcția Digamma.

Cazul special Ker$_{0}(x)$, în mod normal notat cu Ker$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm {Ker} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} (x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+1)}{[(2k)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k}$

și dezvoltarea asimptotică:

$\mathrm {Ker} (x)\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\cos \beta +g_{2}(x)\sin \beta ],$

unde $\beta =x/{\sqrt {2}}+\pi /8$, iar

$f_{2}(x)=1+\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}$

$g_{2}(x)=\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.$

Kei(x)

Pentru n întreg, Kei_n(x) are dezvoltarea in serie:

${\begin{aligned}\mathrm {Kei} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} _{n}(x)\end{aligned}}$

Kei(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm {Kei} (x)e^{x/{\sqrt {2}}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

unde $\psi (z)$ este funcția Digamma.

Cazul special Kei$_{0}(x)$, în mod uzual notat cu Kei$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm {Kei} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Bei} (x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+2)}{[(2k+1)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k+1}$

și dezvoltarea asimptotică:

$\mathrm {Kei} (x)\sim -{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\sin \beta +g_{2}(x)\cos \beta ],$

unde $\beta$, $f_{2}(x)$ și $g_{2}(x)$ sunt cele definite pentru Ker$(x)$.

Vezi și

• Funcție Bessel

Referențe

• Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Capitolul 9.9.

Legături externe

• Weisstein, Eric W. "Kelvin Functions." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [1]
• GPL-licensed C/C++ source code for calculating Kelvin functions at codecogs.com: [2] Arhivat în 7 aprilie 2007, la Wayback Machine.