Geodezică închisă

În geometria diferențială o geodezică închisă pe o varietate riemanniană^⁠(d) este o geodezică care se întoarce la punctul său de pornire având aceeași direcție a tangentei. Poate fi formalizată ca proiecția unei orbite închise a fluxului geodezic în spațiul tangent^⁠(d) al varietății.

Definiție

Într-o varietate riemanniană ( $M,g$ ), o geodezică închisă este o curbă $\gamma :\mathbb {R} \rightarrow M$ care este o geodezică în metrica $g$ și este periodică.

Geodezicele închise pot fi caracterizate prin intermediul unui principiu variațional. Notând cu $\Lambda M$ spațiul curbelor netede 1-periodice pe $M$ , geodezicele închise din perioada 1 sunt tocmai punctele critice^⁠(d) ale funcției de energie $E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R}$ , definită de

E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.

Dacă $\gamma$ este o geodezică închisă a perioadei $p$ , curba reparametrizată $t\mapsto \gamma (pt)$ este o geodezică închisă a perioadei 1 și, prin urmare, este un punct critic al lui $E$ . Dacă $\gamma$ este un punct critic al lui $E$ , la fel sunt curbele reparametrizate $\gamma ^{m},$ pentru fiecare $m\in \mathbb {N} ,$ definit de $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt).$ Astfel, fiecare geodezică închisă pe $M$ dă naștere la o succesiune infinită de puncte critice ale energiei $E$ .

Exemple

Pe sfera unitate $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ cu metrica riemanniană rotundă standard, fiecare cerc mare este un exemplu de geodezică închisă. Astfel, pe sferă toate geodezicele sunt închise. Pe o suprafață netedă echivalentă topologic cu sfera, acest lucru poate să nu fie adevărat, dar există întotdeauna cel puțin trei geodezice închise simple; aceasta este teorema celor trei geodezice.^[1] Varietăți ale căror geodezice sunt închise au fost investigate amănunțit în literatura de specialitate. Pe o suprafață^⁠(d) hiperbolică compactă, al cărei grup fundamental nu are torsiune^⁠(d), geodezicele închise sunt în corespondență biunivocă cu clasele de conjugare^⁠(d) netriviale de elemente din grupul fuchsian^⁠(d) al suprafeței.

Note

^ en Grayson, Matthew A. (1989), „Shortening embedded curves” (PDF), Annals of Mathematics, Second Series, 129 (1): 71–111, doi:10.2307/1971486, JSTOR 1971486, MR 0979601

Bibliografie

Portal Matematică

en Arthur Besse, „Manifolds all of whose geodesics are closed”, Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978

[1] Grayson, Matthew A. (1989), „Shortening embedded curves” (PDF), Annals of Mathematics, Second Series, 129 (1): 71–111, doi:10.2307/1971486, JSTOR 1971486, MR 0979601

[1]