În geometria diferențială o geodezică închisă pe o varietate riemanniană⁠(d) este o geodezică care se întoarce la punctul său de pornire având aceeași direcție a tangentei. Poate fi formalizată ca proiecția unei orbite închise a fluxului geodezic în spațiul tangent⁠(d) al varietății.

Definiție

modificare

Într-o varietate riemanniană (M,g), o geodezică închisă este o curbă   care este o geodezică în metrica g și este periodică.

Geodezicele închise pot fi caracterizate prin intermediul unui principiu variațional. Notând cu   spațiul curbelor netede 1-periodice pe M, geodezicele închise din perioada 1 sunt tocmai punctele critice⁠(d) ale funcției de energie  , definită de

 

Dacă   este o geodezică închisă a perioadei p, curba reparametrizată   este o geodezică închisă a perioadei 1 și, prin urmare, este un punct critic al lui E. Dacă   este un punct critic al lui E, la fel sunt curbele reparametrizate   pentru fiecare   definit de   Astfel, fiecare geodezică închisă pe M dă naștere la o succesiune infinită de puncte critice ale energiei E.

Pe sfera unitate   cu metrica riemanniană rotundă standard, fiecare cerc mare este un exemplu de geodezică închisă. Astfel, pe sferă toate geodezicele sunt închise. Pe o suprafață netedă echivalentă topologic cu sfera, acest lucru poate să nu fie adevărat, dar există întotdeauna cel puțin trei geodezice închise simple; aceasta este teorema celor trei geodezice.[1] Varietăți ale căror geodezice sunt închise au fost investigate amănunțit în literatura de specialitate. Pe o suprafață⁠(d) hiperbolică compactă, al cărei grup fundamental nu are torsiune⁠(d), geodezicele închise sunt în corespondență biunivocă cu clasele de conjugare⁠(d) netriviale de elemente din grupul fuchsian⁠(d) al suprafeței.

  1. ^ en Grayson, Matthew A. (), „Shortening embedded curves” (PDF), Annals of Mathematics, Second Series, 129 (1): 71–111, doi:10.2307/1971486, JSTOR 1971486, MR 0979601 

Bibliografie

modificare
  • en Arthur Besse, „Manifolds all of whose geodesics are closed”, Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978