Inegalitatea Popoviciu pentru varianță

În teoria probabilităților, inegalitatea Popoviciu, numită după Tiberiu Popoviciu, este o margine superioară a varianței σ² oricărei distribuții de probabilitate mărginite. Fie M și m marginile superioară și inferioară ale valorilor oricărei variabile aleatoare cu o anumită distribuție de probabilitate. Atunci ingealitatea Popoviciu este:[1]

Această inegalitate este precisă atunci când o jumătate din probabilitate este concentrată în apropierea uneia dintre cele două margini.

Sharma et al au îmbunătățit inegalitatea Popoviciu:[2]

Dacă mărimea eșantionului este finită atunci inegalitatea von Szokefalvi Nagy[3] dă o margine inferioară a varianței

unde n este mărimea eșantionului.

Inegalitatea Popoviciu este mai slabă decât inegalitatea Bhatia–Davis care arată că

unde μ este așteptarea pentru variabila aleatoare.

O margine inferioară a varianței bazată pe inegalitatea Bhatia–Davis a fost descoperită de Agarwal et al[4]

Note modificare

  1. ^ Popoviciu, T. (). „Asupra ecuațiilor algebrice care au toate rădăcinile reale”. Mathematica (Cluj) (fr.). 9: 129–145. 
  2. ^ Sharma, R., Gupta, M., Kapoor, G. (). „O margine mai bună a varianței cu aplicații”. Jurnalul inegalităților matematice (en.). 4: 355–363. doi:10.7153/jmi-04-32. 
  3. ^ Nagy JVS (1918) Uber algebraische Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln, Jahresbericht der deutschen mathematiker-Vereingung, 27:37–43
  4. ^ Agarwal RP, Barnett NS, Cerone P și Dragomir SS (2005) Un studiu al inegalităților așteptării și varianței. Calculatoare și matematică aplicată 49 (2005) (en.) 429-480