Inel factorial

Inele factoriale

Definitia 1: Un inel integru $R$ se numește inel factorial sau cu descompunere unică în factori primi, dacă orice element nenul și neinversabil din $R$ se descompune într-un produs finit de elemente prime. Inelele $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Z} [i]$,$\mathbb {Z} [(1+i{\sqrt {3}})/2]$ și orice inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienți într-un corp sunt inele factoriale.

Teorema 2: Fie $R$ un inel integru. Următoarele afirmații sunt echivalente: a) $R$ este un inel factorial b) Orice element nenul și neinversabil din $R$ se descompune în produs finit de elemente ireductibile și, orice element ireductibil este prim. c) Orice element nenul și neinversabil din $R$ se descompune în produs finit de elemente ireductibile și două astfel de descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor și de asociere. d) Orice element nenul și neinversabil din $R$ este produs finit de elemente ireductibile și orice două elemente din $R$ au un cel mai mare divizor comun.

Proprietatea 3: Într-un inel factorial orice două elemente au un cel mai mare divizor comun.

Teorema 4: (a lui Gauss) Dacă $R$ este un inel factorial, atunci $R[X]$ este inel factorial.

Fie R un inel integru și $f$$\in$$R[X]$ . Se spune că $f$ este un polinom primitiv dacă coeficienții lui $f$ nu se divid cu același element prim din $R$ . Dacă $R$ este inel factorial , se notează cu $c(f)$cel mai mare divizor comun al coeficienților lui $f$ . Polinomul $f$ va fi primitiv dacă și numai dacă $c(f)=1$ . Orice polinom $f$$\in$$R[X]$ se va scrie sub forma $f=c(f)f^{\prime }$ , unde $f^{\prime }$ este un polinom primitiv.

Proprietatea 5: Dacă $R$ este un inel factorial și $f,g$ sunt două polinoame din $R[X]$ , atunci $c(f,g)$ este asociat cu $c(f)c(g)$ . În particular, produsul a două polinoame primitive este polinom primitiv.

Lema 6: Fie $R[X]$ un inel factorial, și $a$$\in$$R[X]$,$a\neq 0$ cu $g$ polinom primitiv. Dacă $g$ divide produsul $af$ , atunci $g$ divide pe $f$. În particular, dacă pentru două polinoame primitive $f$ și $g$ din $R[X]$ avem relația $ag=bf$ cu $a,b$$\in$$R[X]$,$a\neq 0$, atunci $f$ și $g$ sunt asociate.