Integrală de volum

integrală definită a unei funcții pe un volum

În analiza matematică, în special în cea cu variabile multiple⁠(d), o integrală de volum (∭)[1] este o integrală peste un domeniu tridimensional, adică este un caz particular de integrale multiple. Integralele de volum sunt deosebit de importante în fizică pentru multe aplicații, de exemplu, pentru a calcula densitățile fluxurilor sau pentru a calcula masa dintr-o funcție de densitate corespunzătoare.

În coordonate

modificare

Poate însemna și o integrală triplă într-o regiune   a unei funcții   și se scrie de obicei ca:

 

O integrală de volum în coordonate polare este

 

iar o integrală de volum în coordonate sferice (folosind convenția ISO pentru unghiuri cu unghiul azimutal   și unghiul zenital   (măsurat față de axa polară) are forma

 

Integrarea ecuației   peste un cub unitate dă următorul rezultat:

 

Deci volumul cubului unitate este 1 așa cum era de așteptat. Acest lucru este însă destul de banal, iar o integrală de volum este mult mai puternică. De exemplu, dacă avem o funcție scalară de densitate pe cubul unitate, atunci integrala de volum va da masa totală a cubului. De exemplu, pentru funcția densității:

 

masa totală a cubului este:

 

Alt exemplu: coordonatele centrului de masă ale unui corp   cu densitatea   se pot calcula cu relațiile:[2]

 
 
 

unde M este masa corpului.

  1. ^ Ciupa, Holhoș, 2011, p. 111
  2. ^ Ciupa, Holhoș, 2011, p. 113

Bibliografie

modificare

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare
  • en Hazewinkel, Michiel, ed. (), „Multiple integral”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104