Integrală de volum
În analiza matematică, în special în cea cu variabile multiple(d), o integrală de volum (∭)[1] este o integrală peste un domeniu tridimensional, adică este un caz particular de integrale multiple. Integralele de volum sunt deosebit de importante în fizică pentru multe aplicații, de exemplu, pentru a calcula densitățile fluxurilor sau pentru a calcula masa dintr-o funcție de densitate corespunzătoare.
În coordonate
modificarePoate însemna și o integrală triplă într-o regiune a unei funcții și se scrie de obicei ca:
O integrală de volum în coordonate polare este
iar o integrală de volum în coordonate sferice (folosind convenția ISO pentru unghiuri cu unghiul azimutal și unghiul zenital (măsurat față de axa polară) are forma
Exemple
modificareIntegrarea ecuației peste un cub unitate dă următorul rezultat:
Deci volumul cubului unitate este 1 așa cum era de așteptat. Acest lucru este însă destul de banal, iar o integrală de volum este mult mai puternică. De exemplu, dacă avem o funcție scalară de densitate pe cubul unitate, atunci integrala de volum va da masa totală a cubului. De exemplu, pentru funcția densității:
masa totală a cubului este:
Alt exemplu: coordonatele centrului de masă ale unui corp cu densitatea se pot calcula cu relațiile:[2]
unde M este masa corpului.
Note
modificareBibliografie
modificare- Alexandra Ciupa, Adrian Holhoș, Calcul integral: Culegere de probleme, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, 2011, Cap. 5: Integrale de volum, accesat 2024-04-04
Vezi și
modificareLegături externe
modificare- en Hazewinkel, Michiel, ed. (), „Multiple integral”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104