Integrala Fresnel

Integralele lui Fresnel, $S(x)$ și $C(x)$, sunt funcții speciale, introduse în optică de inginerul Augustin-Jean Fresnel pentru a studia fenomenele de difracție.

Definiție

$S(x):=\int _{0}^{x}\sin \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)dt$

$C(x):=\int _{0}^{x}\cos \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)dt$

Proprietăți

$\lim _{x\to +\infty }S(x)=\lim _{x\to +\infty }C(x)={\frac {1}{2}}$

$C(iz)=iC(z)$

$S(iz)=-iS(z)$

Relațiile cu alte funcții speciale

$C(z)+iS(z)=zM\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},i{\frac {\pi }{2}}z^{2}\right),$

unde $M$ este funcția hipergeometrică confluentă^{⁠(en)[traduceți]}.

Relația cu funcția erorilor^{⁠(en)[traduceți]} este:

$C(z)+iS(z)={\frac {1+i}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(1-i)z\right]$

Bibliografie

• en M. Abramowitz e I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (Dover, New York, 1972) p. 300
• en P. Drude, Theory of Optics, (Longmans, Green, and Co., New York, 1902) p. 188-203

Legături externe

• Integrala Fresnel S(x) pe functions.wolfram.com
• Integrala Fresnel C(x) pe functions.wolfram.com
• Integralele lui Fresnel MathWorld