Notație indexată

În matematică și programarea calculatoarelor notația indexată este folosită pentru a specifica elementele unui tablou de numere. Formalismul modului în care sunt folosiți indicii variază în funcție de subiect. De exemplu există metode diferite de referire la elementele unei liste, a unui vector sau a unei matrice, în funcție de faptul dacă se redactează o lucrare de matematică formală pentru publicare sau dacă se scrie un program de calculator.

În matematică

Este adesea util în matematică să se facă referire la elementele unui tablou folosind indici. Indicii pot fi numere întregi sau variabile. În cazul general tabloul ia forma unor tensori, deoarece aceștia pot fi tratați ca tablouri multidimensionale. Cazurile particulare (și mai familiare) sunt vectorii (tablouri unidimensionale) și matricile (tablouri bidimensionale).

Tablouri unidimensionale (vectori)

Articol principal: Vector (fizică și matematică).

Un vector este tratat ca un tablou de numere scrise sub forma unui vector linie sau vector coloană (care este folosit, depinde de comoditate sau context):

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}$

Notația indexată permite indicarea elementelor matricei prin simpla scriere a_i, unde se știe că indexul i se încadrează în intervalul 1 … n, n fiind dimensiunea (numărul de elemente pe o direcție) a tabloului. De exemplu, fie vectorul:

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}10&8&9&6&3&5\\\end{pmatrix}}$

atunci unele elemente sunt

$a_{1}=10,\,a_{2}=8,\,\cdots ,\,a_{6}=5$.

Notația poate fi aplicată la vectorii din matematică și fizică. Următoarea ecuație vectorială

$\mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {c}$

poate fi scrisă și în termeni de elemente ale vectorului (componente), adică

$a_{i}+b_{i}=c_{i}$

unde indicii se află într-un interval dat de valori. Această expresie reprezintă un set de ecuații, câte una pentru fiecare indice. Dacă vectorii au fiecare n elemente, adică i = 1, 2, ..., n, atunci ecuațiile sunt, explicit,

${\begin{aligned}a_{1}+b_{1}&=c_{1}\\a_{2}+b_{2}&=c_{2}\\&\ \ \vdots \\a_{n}+b_{n}&=c_{n}\end{aligned}}$

Prin urmare, notația indexată servește ca o prescurtare eficientă pentru

1. reprezentarea structurii generale a unei ecuații,
2. când se aplică componentelor individuale.

Tablouri bidimensionale

Elementele matricei A (m × n) sunt descrise prin doi indici

Pentru a descrie tablouri de numere cu două sau mai multe dimensiuni se folosesc mai mulți indici. De exemplu, la o matrice (care este bidimensională, v. imaginea din dreapta) se folosesc doi indici:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}$

Un element al matricei A se notează cu doi indici, de exemplu i și j, cu sau fără virgula de separare a indicilor: a_ij sau a_i,j, unde primul indice este numărul liniei, iar al doilea este numărul coloanei. Alăturarea indicilor poate fi uneori o sursă de confuzie. De exemplu, în matricea următoare, 4 × 3:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}9&8&6\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{pmatrix}}$

nu există nicio confuzie care sunt indicii unor elemente:

$a_{11}=9,\,a_{12}=8,\,a_{21}=1,\,\cdots ,\,a_{23}=7,\,\cdots$.

însă la o matrice cu dimensiuni mai mari, de exemplu o matrice 40 × 30, nu este clar dacă notația a₃₁₂ se referă la elementul din a treia linie și a 12-a coloană, sau la elementul din a 31-a linie și a doua coloană. Pentru aceste cazuri notațiile preferate sunt a_3,12 respectiv a_31,2 .

O ecuație matricială se scrie similar cu una vectorială:

$\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {C}$

sau, în termeni de elemente ale matricei (componente):

$A_{ij}+B_{ij}=C_{ij}$

pentru toate valorile i și j. Din nou, această expresie reprezintă un set de ecuații, câte una pentru fiecare indice. Dacă matricile au fiecare m linii și n coloane, adică i = 1, 2, …, m și j = 1, 2, …, n, atunci există mn ecuații.

Generalizări

Notația permite o generalizare imediată la tablouri de elemente multidimensionale: tensori. De exemplu,

$A_{i_{1}i_{2}\cdots }+B_{i_{1}i_{2}\cdots }=C_{i_{1}i_{2}\cdots }$

reprezintă o mulțime de ecuații.

În anumite domenii indicii pot fi plasați și sus, ca exponenții, de exemplu în analiza tensorială indicii plasați sus indică entități contravariante, iar cei plasați jos indică entități covariante. Există și alte domenii, în care indicii sunt utilizați într-un fel anume.

Bibliografie

• en J. Hubbard, Programming with C++, Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), 1996, ISBN: 0-07-114328-9
• en D.C. Kay, Tensor Calculus, Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, ISBN: 0-07-033484-6
• en K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 2010, ISBN: 978-0-521-86153-3